Bilqi Forum  

Geri git   Bilqi Forum > > >

ÖDEVLERİNİZİ BULMAKTA ZORLANIYOMUSUNUZ!

SORUN ANINDA CEVAPLIYALIM.

TÜM SORULARINIZA ANINDA CEVAP VERİLECEKTİR !

Sitemize Üye Olmadan Konulara Cevap Yazabilir Ayrıca Soru Cevap Bölümüne Konu Açabilirsiniz !

Yeni Konu aç Cevapla
 
Seçenekler Stil
Alt 03-13-2008, 18:48   #1
Yaso
Operator
 
Yaso - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Üyelik tarihi: Jan 2008
Mesajlar: 32.967
Tecrübe Puanı: 1000
Yaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond repute
Standart I.saymanin Temel Kurallari

I.SAYMANIN TEMEL KURALLARI

A)EŞLEME YOLU İLE SAYMA

Bir kümenin eleman sayısını;kümenin elemanları ile sayma sayıları kümesinin elemanları arasında birebir eşlem yaparak bulmaya denir.

B)TOPLAMA YOLU İLE SAYMA

A ve B eleman sayıları sonlu olan iki ayrık küme olsun.
S(A)= m ve s(B) = n  s(AB)= s(A) +s (B) dir.

Buna göre, ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa bu işlemlerden biri veya diğeri m+n yolla yapılabilir.

Örnek :

Farklı özellikte, 3 matematik ve 5 kimya kitabı arasından 1 matematik veya 1 kimya kitabı kaç yolla seçilebilir?

Çözüm :

Matematik kitapları m1, m2,m3 ve kimya kitapları k1,k2,k3,k4,k5 olsun.Bu durumda,matematik kitapları kümesi A=m1,m2,m3 ve kimya kitapları kümesi B=k1,k2,k3,k4,k5 tir.
1 matematik veya 1 kimya kitabının seçileceği küme ise AB=m1,m2,m3, k1,k2,k3,k4,k5 tir.

Kolayca görüleceği gibi 1 matematik veya 1 kimya kitabının seçileceği küme 3+5=8 elemanlıdır.Yani seçme 8 yolla yapılabilir.Diğer bir ifadeyle, 3 matematik ve 5 kimya kitabı arasından 1 matematik veya 1 kimya kitabı 3+5=8 yolla seçilebilir.

Örnek :

Bir lisenin birinci sınıfında 100,ikinci sınıfında 200 ve üçüncü sınıfında 300 öğrenci vardır.Bu lisede toplam öğrenci sayısı nedir?

Çözüm :

L  L= , L  L = dir.
S(L L L  sL +sL+ sL
=100+200+300=600 olur.







3)ÇARPMA YOLU İLE SAYMA

n tane elemandan oluşan
(a1,a2,a3,.....,an) ifadesine sıralı n li denir.

Benzer şekilde (a,a)... sıralı ikili
(a1,a2,a3)... sıralı üçlü
...............................................
olarak adlandırılır.
A ve B sonlu iki küme olsun.
S(A)= m ve s(B)= n  s(Ax B) = s(A). S(B) dir. AxB kümesi birinci bileşeni A dan,ikinci bileşeni B den alınan ikililerden oluşmaktadır.

O halde, ilk işlem m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m.n yolla yapılabilir.

Örnek :
Farklı özellikte 2 matematik ve 3 fizik kitabı arasından 1 matematik ve 1 fizik kitabı kaç yolla seçilebilir?
Çözüm:
Matematik kitapları m1,m2 ve f1,f2,f3, olsun.Bu durumda matematik kitaplarının kümesi A=m1,m2 ve fizik kitaplarının kümesi B=f1,f2,f3 tür.
1 matematik ve 1 fizik kitabından oluşan matematik ve fizik kitabı ikilisinin seçeceği küme ise ;
A x B = (m1,f1) , m1,f2  m1,f3  m2,f1  m2,f2 , (m2,f3) tür.

Kolayca görüleceği gibi Ax B kümesi 2.3=6 yolla yapılabilir.Diğer bir ifadeyle 2 matematik ve 3 fizik kitabı arasından 1 matematik ve 1 fizik kitabı 2.3=6 yolla seçilebilir.

Örnek:
Bir spor salonunda 20 sıra ve her sırada 30 koltuk vardır.Bu spor salonu kaç kişiliktir?

Çözüm:
Her sırada 30 koltuk olduğundan 20 sırada toplam 20x30=600 kişi vardır.

SIRALI “n” LİLER

N ={1,2,3,4,.........} olmak üzere
a1,a2,a3,.......an ile gösterilen n tane nesneden oluşturulan (a1,a2,a3,......,an) gösterimine sıralı n li denir.

(a1,a2)...........sıralı ikili
(a1,a2,a3).........sıralı üçlü
(a1,a2,a3,a4)........sıralı dörtlü
.
.
(a1,a2,a3,................,an)........ sıralı “n” lidir.






Örnek:

A={1,2},A={1,2,3} kümeleri veriliyor.a A , a  A olmak üzere,

a) (a,a) biçiminde birbirinden farklı sıralı ikililerin sayısını bulunuz.
b) (a,a,a) biçiminde birbirinden farklı sıralı üçlülerin sayısını bulunuz.


Çözüm:
a) (a,a) E AxA olmak üzere

s(A)=2 ise s(AxA) = s(A) x s(A)
s(A)=3 =2 x3
=6 tanedir.
b)(a,a,a) E AxAxA olmak üzere

s(A) = 2
s(A) = 3  s(A,A,A) = s(A) x s(A) x s(A)
s(A) = 4 =2 x 3 x 4
=24 tenedir.
SAYMANIN TEMEL İLKESİ

Ard arda yapılabilen r tane işten birindi iş n1 değişik şekilde,ikinci iş n2 değişik şekilde,üçüncü iş n3 değişik şekilde,......,r inc işe ise nr değişik şekilde yapılabiliyorsa bu işlerin bileşiminden oluşan iş;n1,n2,n3,...,nr değişik şekilde yapılabilir.

Örnek :

A kenti ile B kenti arasında 2 değişik yol,B ile C kenti arasında ise 5 değişik yol vardır.A kentinden C kentine gitmek isteyen bir kimse B den geçmek koşulu ile;

a) Kaç değişik yol ile A şehrinden C şehrine gidebilir?

b) A şehrinden C şehrine kaç değişik yol ile gidip dönebilir?

c) Kullandığı yolu bir kez daha kullanmamak koşulu ile C şehrine kaç değişik yoldan gidip gelebilir?





Çözüm :

a) Bir kimse A şehrinden B şehrine gitmek için 2 farklı yoldan birini B den C ye gitmek için de 5 farklı yoldan birini kullanmak zorundadır.Saymanın temel ilkesine göre A dan C ye, B ye uğrayarak 2.5= 10 değişik biçimde gidebilir.


b) A şehrinden B şehrine gitmek için 2 farklı yoldan birini, B şehrinden C şehrine gitmek içinde 5 farklı yoldan birini seçebilir.C şehrinden B şehrine geri dönerken 5 farklı yoldan biri, b den a ya dönerken de 2 farklı yoldan birini seçebileceğinden A dan C ye 2.5.5.2 = 100 değişik biçimde gidip ve gelebilir.

c) Adan C ye 2.5 = 10 farklı şekilde gidebilir C şehrinden B şehrine geri dönerken gidişte yollardan biri kullanıldığından geriye kalan 5- 1 =4 farklı yolun biri ve B den A ya dönerken de gidişte yollardan biri kullanıldığından geri kalan (2-1) =1 farklı yoldan biri kullanılır.Öyleyse C den A ya dönüş 4.1 = 4 değişik biçimde olur.Saymanın temel ilkesine göre A dan C ye gidiş ve dönüş 2.5.4.1=40 değişik biçimde olur.


Örnek :

4 gömleği ve 5 eteği olan bir kimse kaç farklı biçimde giyinebilir?

Çözüm :

Gömleklerin kümesi G=g1,g2,g3,g4 ve eteklerin kümesi E=e1,e2,e3,e4,e5 olsun.Bu kimsenin bir eleman G kümesinden ve bir elemanda E kümesinden alarak giyinmesi gerekir.Buna göre;

S(GxE) = s(G) . s(E)
= 4 . 5
= 20 farklı biçimde giyinebilir.


Örnek :

Bir öğrencinin sınavı geçebilmesi için önce ilk 6 sorudan birini daha sonra başka 3 sorudan birini cevaplaması gerekmektedir.Bu öğrenci cevaplayacağı soruların kaç değişik şekilde seçebilir?

Çözüm :

Öğrenci cevaplaması gereken toplam 2 sorudan birincisine ilk 6 soru arasından 6 şekilde ikincisini ise son 3 soru arasından, 3 şekilde seçebileceğinden cevaplayacağı soruları 6 . 3 = 18 şekilde seçebilir.


FAKTÖRİYEL

1 den n e kadar olan pozitif tam sayıların çarpımına “n” faktöriyel denilir ve 1x 2x 3...x n = n şeklinde gösterilir.Özel olarak 0! = 1 kabul edilir.

Not :

1) Her büyük değerli faktöriyel,içerisinde faktöriyeli çarpanı olarak bulunduracak şekilde yazılabilir.
2) a , b  Z ve ab için a . b!  b. a!
3) a , b Z için (a. b)!  a! . b! dir.

Örnek :


ifadesini kısaltınız.


Çözüm :


Örnek :

n. (n-2)! = n! ise n değeri nedir ?

Çözüm :

n(2-2)! = n!
n(n-2)! = n(n-1).(n-2)!
1=n-1 n=2 dir.

Örnek :


Çözüm :

(4n+3)! (4.n +1) = (4n +1)(4n+2)(4n)
(4n+2)! (4n)! (4n +1) (4n+2)! (4n)!(4n+1)

= 4n + 3



PERMÜTASYON

n n N olmak üzere n elemanlı bir kümenin,birbirinden farklı r tane elemanından oluşan sıralı r lilerden her birine bir kümenin r li permütasyonu denir.

N elemanlı bir kümenin r li permütasyonlarının sayısı;

P(n,r) = n! dir. (r  n)
(n –r)!
Not :

Permütasyon ile kombinasyon arasındaki en önemli fark permütasyonda sıra önemli,kombinasyonda sıranın önemli olmamasıdır.Örneğin 5 tane numarasız birbirinin birbirinin aynısı formayı 5 kişiye dağıtmak tek şekilde olurken birden beşe kadar numaralanmış formaları 5 kişiye dağıtmak 5! Şekilde yapılabilir.Permütasyonla çözülebilen her soru aynı zamanda saymanın temel ilkesi ile de çözülebilir.

Örnek :
4 kişi aynı sıradaki 4 sandalyede kaç farklı biçimde oturabilir?

Çözüm :

P(4 , 4) = 4! = 4.3.2.1 = 24 farklı biçimde oturabilir.

Örnek :

8 değişik renkte boya kalemi ile bir haritadaki 3 ili kaç değişik biçimde boyayabiliriz?

Çözüm :


=336 biçimde.

Örnek :

5 değişik fizik,3 değişik tarih ve 2 değişik felsefe kitapları aynı cins kitaplar yanyana gelmek üzere bir kitaplığın rafına kaç değişik biçimde sıralanabilirler?

Çözüm :

5 fizik kitabı kendi arasında 5! =120 farklı biçimde.
3 tarih kitabı kendi arasında 3! = 6 farklı biçimde.
2 felsefe kitabı kendi arasında 2! = 2 farklı biçimde dizilebilir.
Bu 3 farklı kitapta kendi arasında 3! biçimde dizileceğinden genel çarpma kuralına göre ;
5! . 3! . 2! . 3! = 120 . 6 . 2 . 6 = 8640 farklı biçimde dizilebilirler.

TEKRARLI PERMÜTASYON


dir.

n elemanlı bir kümenin n tanesi bir türden, n tanesi başka türden, ....,n tanesi de r ninci türden ise bu n elemanın n li permütasyonlarının sayısı ;

Not :

Toplam n tane nesnenin (n1,n2, ...., nn) tanesi kendi arasında aynı olduğunda bu aynı elemanların belli durumlarda kendi aralarında yer değiştirdiklerinde yeni bir sıralama oluşmamaktadır.Bunların sayısının elenmesi gerekmektedir.Bu da n!i ; ( n1! . n2!. ...nn!)
ile bölerek yapılır.

Örnek :

“ MARMARA” kelimesindeki harflerin yerlerini değiştirerek anlamlı yada anlamsız;
a) 7 harfli kaç tane kelime yazılabilir?
b) Bunların kaç tanesi M ile başlar M ile biter?
c) Bunların kaç tanesi A ile başlar A ile biter?
d) Bunların kaç tanesinde M ‘ler yanyanadır?
e) Bunların kaç tanesinde A’ların üçü de yanyanadır?

Çözüm :

a) “ MARMARA” kelimesindeki 7 harfin 2 tanesi kendi arasında aynı M ler, 2 tanesi kendi arasında aynı R ler , 3 tanesi kendi arasında A lar.

Buna göre P(7,7) = 7! = 210 farklı kelime yazılabilir.
3! .2! .2!

b) M ile başlayıp M ile biten 7 harfi kelime sayısı

M ARARA M
  
sbt kalan 5 harf sbt

P(5,5) = 5! = 120 = 30
2! 2! 4
c) A ile başlayıp A ile biten 7 harfli kelime sayısı;

A MRAMR A
  
sbt kalan 5 harf sbt

d) M lerin ikisinde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı;

MM A , R , R , A , A
     
1. 2. 3. 4. 5. 6.

P(6,6) = 6! = 60 tanedir.
2! . 3!
e) A ların üçününde yanyana olduğu 7 harfli kelimelerin sayısı

A , A , A , M , M , R , R
    
Örnek :

4344004 sayısındaki rakamlarla 7 basamaklı kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm :

Yazılacak sayının soldan ilk rakamı 0 olamaz.Bunun için soldan ilk rakam diğer rakamlar arasından seçilir.
Önce tekrar durumunu göz ardı edelim.Daha sonra bulunan sonucu (4, 4 kez ve 0 , 2 kez tekrarlandığı için) 4! . 2! ‘e bölelim.

5 6 5 4 3 2 1  5 . 6!

5 . 6! = 5. 6 . 5 . 4! = 5 . 3 . 5 = 75 farklı sayı yazılabilir.
4! . 2! 4! . 2 . 1

Örnek :

5500222 sayısındaki rakamların yerlerini değiştirerek birbirinden farklı 7 basamaklı kaç sayı yazılabilir?

Çözüm :

Verilen sayıda 7 rakam olduğundan n=7 dir.Bu sayıda 2 tane 5, iki tane 0 , 3 tane 2 rakamları tekrar edildiğinden ; n=2 , n=2 , n=3 olur.

n!  7! 7 . 6 . 5 . 4 . 3! 210

n ! n! n! 2!. 3! . 2! 2 . 2 . 3!

210. 2 = 60 tanesi 0 ile başlar 7 basamaklı olmaz.
7
210 – 60 = 150 tane birbirinden farlı 7 basamaklı sayı yazılabilir.
DAİRESEL PERMÜTASYON

n tane elemanın,bir çember etrafındaki sıralanışlarının her birine n elemanın dairesel permütasyonu denir.

n elemandan birinin yeri sabit gibi düşünülüp diğerlerinin bu elemana göre sıralanışı göz önüne alınırsa,n elemanın dairesel permütasyonlarının sayısı
(n – 1)! olur.

Örnek :

6 kişilik bir aile yuvarlak birer masada yemek yiyecektir;
a) Kaç farklı şekilde oturabilirler?
b) Anne ile baba yan yana oturmak şartı ile kaç farklı şekilde oturabilirler.

Çözüm :

a) 6 kişi yuvarlak masa etrafına 5! = 120 farklı şekilde oturabilir.
b) Anne ile baba bir kişi gibi düşünülürse aile 5 kişi olur.

5 kişi yuvarlak bir masa etrafında 4! = 24 değişik şekilde oturur.Anne ile baba kendi aralarında 2! = 2 değişik şekilde oturur.Buna göre, 6 kişilik bir aile anne ile baba yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında

4! . 2! = 24 . 2 = 48 değişik şekilde oturabilir.

Örnek :

6 kişilik bir aile bir yuvarlak masa etrafında, anne ile baba hiç yan yana olmamak koşulu ile kaç farklı biçimde oturabilirler?

Çözüm :

Önce , anne ile babanın hep yan yana oturma durumunu bulalım.Anne ile baba 1 kişi olarak düşünülürse 5 kişi yuvarlak masa etrafında (5 – 1)! = 4! Biçimde sıralanır.Ancak anne ile baba kendi aralarında 2! Biçimde sıralanacağından, anne ile babanın hep yanyana olma durumu : 4! . 2! dir.Anne ile babanın hiç yanyana olmama durumu ise;

(6 - 1)! – 4! . 2! = 120 – 48 = 72 dir.







KOMBİNASYON

n elemanlı bir kümenin r elemanlı (r  n ) her alt kümesine bu kümenin bir kombinasyonu denir.n elemanlı bir kümenin r li bütün kombinasyonlarının sayısı:


Not :

Permütasyon, bir kümenin elemanlarının değişik sıralanışlarının sayısıdır.Kombinasyon ise sıra gözetmeksizin bulunabilecek alt kümelerinin sayısıdır.Demek ki permütasyonda sıra önemli , kombinasyonda ise önemli değildir.

Kombinasyon Özellikleri :

1)
2)
3)
4)
5)
6)



5




Örnek :

C( n,0) + C( n, 1) + C( n,2) = 56 ise n kaçtır?

Çözüm :

C( n,0) + C (n,1) + C ( n,2) = 56

2 + 2n + n2– n = 56

n + n – 54 = 0

(n + 9 ) ( n – 6 ) = 0  n= - 9 ve n= 6 olur.

-9  IN olduğu için alınamaz.

Örnek :

P(n,3) = 4 . C(n,4) olması için n ne olmalıdır?

Çözüm :

n.(n – 1) . ( n-2 ) = 4 . P(n,4) / 4!


n . ( n-1) . ( n-2 ) = 4 . n . ( n – 1) .( ( n – 2 ) ( n-3 )) / 4 . 3 . 2 . 1


6 = n – 3  n =9

Örnek :

C( n-1 , 2 ) + c( n-1 , 1 ) = 1 ise n nedir?
Çözüm :

(n , r) + (n , r-1) = (n +1,r) olduğundan,

( n-1,2 ) + ( n-1,1 ) = ( n,2 ) olur.

( n,2 ) = 1  n = 2 dir.Çünkü ( 2,2 ) = 1 dir.

( n-1,2 ) = ( 1,2 ) dir.Oysa birer elemanlı kümenin ikili kombinasyonu olmayacağından
Ç =  dir.

BİNOM AÇILIMI

(a . b)m = am . bm

( a )m = am dir. Fakat ( a  b)m  am  bm dir.
b bm

Buna göre iki ya da daha fazla terim toplamının ya da farkının parantez kuvvetini açmak için kullanılan metodlardan biri paskal üçgeni,diğeri de binom açılımıdır.

x,y  R , n  Z+ = 1 , 2 , 3 , ..... için (x + y)n = (n,r) . xn-r . yr dir.

Bu formüle binom açılımı denir.

( x +y )n = ( n ) . xn + ( n ) . xn-1 .y + .... + ( n ) . xn-r . yr + .... ( n ) . yn
0 1 r n
Bu formüle iki yada daha fazla terimli ifadelerin pozitif tam sayı olan kuvvetlerinin açılımları bulunur ( x+y )n açılımının.

Özellikleri :

1) ( x+y )n açılımında birbirinden farklı elde edilebilecek maksimum terim sayısı ( n+1 ) tanedir.

2) Her terimdeki değişkenlerin kuvvetleri toplamı parantez kuvveti olan (n) e eşittir.Yani her terimdeki (x) ve (y) nin kuvvetleri toplamı n dir.

3) ( x + y)n açılımındaki katsayılar toplamını bulmak için parantez içindeki değişkenler ( x ve y ) yerine 1 konur.

Buna göre;
(1 + 1)n = 2n katsayılar toplamı olur.

4) ( x +y)n açıldığında baştan ( r + 1) terim

C( n , r ) x n-r . y r dir.

5) ( n ) = ( n ) olduğundan ( x + y )n açılımındaki baştan ve
r n - r
sondan eşit uzaklıktaki terimlerin katsayıları eşittir.


6) (x + y)n açılımında (k  n) olmak üzere sondan k terimin baştan sırası (r)

k = ( n + 2) – r ile bulunur.



Örnek :

( 3a + b )4 açılımını yapınız.
Çözüm :

(3a + b)4 = (4 ) .(3a)4. b0 + (4) .(3a)3 . b1 + ( 4 ) (3a)2. b2 + ( 4 ) (3a) b3 + ( 4 ) b4
0 1 2 3 4
= 81 a4 + 108 a3b + 54 a2 b2 +12 ab3 + b4

Yukarıda görüldüğü gibi (3a + b )4 açılımında toplam (4 + 1) = 5 tane terim elde edilip,burada 81 , 108 , 54 ,12 ve 1 katsayılardır.

Katsayılar toplamı = 81 + 108 + 54 + 12 + 1 = 256 olur.

Pratik olarak katsayılar toplamı = (3 . 1 + 1)4 =44 =256 olur.

a=b= 1 için

Örnek :

( a3 + 2 )12 açılımında terimleri “a” nın azalan kuvvetlerine göre sıralarsak ;
a2
a) Baştan 3. terim nedir?
b) Baştan 4. terimin katsayısı nedir?
c) Sondan 2. terim nedir?

Çözüm :

( I +II )n açılımında baştan “r” inci terim = In – r +1 . II r –1 ile bulunacağından ;

a) ( a3 + 2 )12 açılımında
a2
I= a3 , II = = 2 . a-2 n =12 r =3

3.terim = (12 ) (a3)10 (2 . a-2)2 = 12 . 11 .a30 . 22 .(a-4 ) = 264 . a26 olur.
2 2
b) Baştan 4. terim de r = 4 olmalı

4. terim = ( 12 ) (a3)9 (2 . a-2 )3 = 12 . 11 . 10 .a27 .23 .a-6
3 3 . 2 . 1
= 1760 a 21 olur ki burada katsayı : (1760) bulunur.

c) Sondan 2. terimin baştan sırası olan r

r = (12 + 2) – 2 = 12 olur.
12. terim = (a3)1 (2a-a )11 = 12 . a3 . 211 . a-22 = 3 . 213 .a-20 bulunur.
UYGULAMALAR

Örnek :

Spor toto oyununda 13 maçı da kesin bilmek için en az kaç kolon oynamak gerekir?

Çözüm :

Her maç için 0 , 1 , 2 olmak üzere 3 seçenek vardır.Saymanın temel ilkesine göre 13 maçıda kesin bilmek için

3 . 3 . 3 . ..............3 = 313 kolon oynamak gerekir.


13 kolon
Örnek :

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 rakamlarını kullanarak;
a) 3 basamaklı kaç sayı yazılabilir?
b) 3 basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?
c) 3 basamaklı 400 den büyük kaç çift sayı yazılabilir?
d) 4 basamaklı sayılaradan kaç tanesi 3 ile başlar ve 4 ile biter?

Çözüm :

a) Üç basamaklı sayılar abc biçimindedir.Her basamağı bir kutu ile gösterirsek her kutuya 6 rakam yazılabileceğinden bu koşulda ,

a b c
  
6 6 6 = 216 sayı yazılabilir.

b) Sayının çift sayı olması için c yerine 2 , 4 , 6 rakamlarından biri yazılmalıdır.Buna göre a için 6 , b için 6 , c için 3 seçeneğimiz olduğundan,

a b c
  
6 6 3 = 108 çift.

( 2 , 4 , 6)

c) Sayının 400 den büyük olması için a yerine 4 , 5 ,6 rakamlarından biri , çift sayı olacağına göre c yerine 2 , 4 ,6 dan iri yazılmalıdır.Buna göre istenilen koşulda ,

a b c
  
3 6 3 = 9 . 6 = 54 sayı yazılabilir.
  
( 4,5,6 ) hepsi ( 2,4,6 )
d) a b c d
   
1 6 6 1 = 36 farklı sayı yazılabilir.
   
(3) hepsi hepsi ( 2,4,6 )

Örnek :

l1 l2 l3 l4 l1  l2  l3  l4 ve
d1 d1  d2  d3  d4  d5
d2 olduğuna göre , şekilde kaç tane paralelkenar
d3 vardır?
d3
d4

Çözüm :

Bir paralelkenar oluşturmak için 2 yatay doğru ve 2 düşey doğru seçmek gerekir.
Yatay 5 doğru arasından 2 doğru ,

( 5,2 ) = 5 . 4 = 10 farklı şekilde seçilebilir.
2!


Düşey 4 doğru arasından 2 doğru

(4 , 2) = 4 . 3 = 6 farklı şekilde seçilebilir.
2!

Çarpma kuralına göre,şekilde

( 5 ) . ( 4 ) = 10 .6 = 60 tane paralelkenar vardır.
2 2

Örnek :

5 matematik ve 3 kimya kitabı, matematik kitapları yan yana gelmek şartıyla aynı rafa kaç farklı şekilde sıralanabilir?

Çözüm :

Matematik kitaplarının yanyana gelmesini sağlamak için 5 matematik kitabını bir kitap gibi düşünelim.Bu durumda , rafa sıralanacak kitapların sayısı 4 olur.Bu 4 kitap rafa 4! Farklı şekilde sıralanabilir.Yan yana olmakla birlikte matematik kitapları kendi aralarında 5! farklı şekilde sıralanabilir.
Çarpma kuralına göre, matematik kitapları yan yana gelmek şartıyl bu 8 kitap aynı rafa 5! . 4! farklı şekilde sıralanabilir.


Örnek :

(4! + 5! + 6! + 7! + ..... +60!) toplamının 21 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm :

21 = 3 x 7 olduğundan 7! Ve daha büyük faktöriyeller içinde 3 ve 7 çarpanı bulundurdukları için 21 ile tam bölünürler.Buna göre

4! + 5! + 6! + 7! 8!...+60!  21 864 21
k = ? - 84 41

024
24 + 120 + 720 + .... + 0 21 - 21

k = ? k = 3 olur.


Örnek :

Aralarında Burcu ve Mirkan’ın bulunduğu 7 çocuk , bir yuvarlak masa etrafında , Burcu ile Mirkan hep yan yana olmak koşulu ile kaç farklı biçimde oturabilirler?

Çözüm :

Burcu ile Mirkan hep yanyana olacağından 1 kişi kabul edelim.O halde 6 kişi yuvarlak masa etrafında ( 6-1)! = 5! =120 değişik biçimde oturabilirler.Ancak Burcu ile Mirkan da kendi arasında 2! biçimde yer değiştireceğinden 120 . 2 = 240 biçimde oturabilirler.


Örnek :

A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 kümesinin üçlü permütasyonlarının kaç tanesinde 5 elemanı bulunur?


Örnek :

Tüm üçlü permütasyonlarının sayısı , P(5 ,3) = 5 . 4 . 3 = 60 dır.

5 in bulunmadığı üçlü permütasyonların sayısı , P(4 , 3) = 4 . 3 . 2 =24 tür.

n bulunduğu üçlü permütasyonların sayısı , 60 – 24 = 36 bulunur.



Örnek :

 x2 - 2 )8 = açılımında;
x

a) x10 un katsayısı nedir?
b) Baştan 4. terim nedir?
c) Ortanca terim nedir?
d) Sabit terim nedir?
e) Katsayılar toplamı nedir?

Çözüm :

a) Açılımındaki ( r+1) terim

(8) (x2)9-r . (– 2 )r ( 8 ) x16 – 2r . ( –2 . 1 )r = ( 8 ) x16 – 2r (-2)r . ( x-r )
r x r x r

= (8) . x16 – 3r . (-2)r
r
x10 olabilmesi için 16 – 3r = 10  r =2

r= 2  8 . x16 – 32 . ( -2)2 = 112 . x10
2

x4 ün katsayısı 112 dir.

b) r+1 = 4  r = 3
( 8 ) ( x2)8-3 . ( - 2 )4 = 56 . x10 . ( -2)3 . x-3
3 x
= 56(-8).x7 = - 448 . x7


c) Ortanca terim baştan 5. terimdir
r +1 =5  r = 4

( 8 ) (x2)8-4 . ( -2 ) 4 =70 . x8 ( -2)4 x –4 = 70 . 16 . x4 = 1120 . x4
4 x
d) sabit terim x0 li terimdir.

( 8 ) (x2 )8-r . ( -2 )4 = ( 8 ) . x16-3r . (-2)r
r x r

16 – 3r = 0  r = 16 tam sayı çıkmadığı için bu açılımda sabit terim yoktur.
3


Örnek :

( 50 ) = ( 50 ) ise p nin alabileceği değerlerin kümesi nedir?
20 p2 – p


Çözüm :

( 50 ) = ( 50 )  p2 – p – 20 =0
20 p2 - p

( p – 5) ( p + 4 ) = 0

p = 5 ve p = -4

p2 - p = 30  p2 – p – 30 = 0

(p – 6 ( p + 5) = 0

p = 6 ve p = -5 olur.


Örnek :

Birbirine paralel P ve Q düzlemleri veriliyor.P de herhangi üçü doğrusal olmayan 4 nokta , Q da herhangi üçü doğrusal olmayan 5 nokta veriliyor.Köşeleri bu noktalar olan kaç tane üçgen piramit oluşturabilir?

Çözüm :

İki türlü üçgen piramit oluşturulabilir.

I ) Tepesi p ve tabanı Q da olan üçgen piramitlerin sayısı C ( 4,1 ) . C ( 5,3 ) = 40 tane

II ) Tepesi Q ve tabanı P de olan üçgen piramitlerin sayısı C( 5,1 ) . C ( 4,2 ) = 30 tanedir.

Toplam oluşan üçgen piramitlerin sayısı = 40 + 30 = 70 tanedir.
Yaso isimli Üye şimdilik offline konumundadır   Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Bookmarks


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
Sizin Yeni Konu Acma Yetkiniz var yok
Sizin Konu Yanıtlama Yetkiniz var
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı

Gitmek istediğiniz klasörü seçiniz

Benzer Konular
Konu Konuyu Başlatan Forum Cevaplar Son Mesaj
Yazim Kurallari 3 уυѕυƒ Türkçe (Edebiyat) Testler 0 04-12-2008 14:52
Yazim Kurallari 2 уυѕυƒ Türkçe (Edebiyat) Testler 0 04-12-2008 14:51
Yazim Kurallari уυѕυƒ Türkçe (Edebiyat) Testler 0 04-12-2008 14:51
I.saymanin Temel Kurallari уυѕυƒ MaTematik 0 04-02-2008 15:07
Yazim Kurallari уυѕυƒ Türk Dili ve Edebiyat 0 04-01-2008 22:46


Şu Anki Saat: 21:23


İçerik sağlayıcı paylaşım sitelerinden biri olan Bilqi.com Forum Adresimizde T.C.K 20.ci Madde ve 5651 Sayılı Kanun'un 4.cü maddesinin (2).ci fıkrasına göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur. bilqi.com hakkında yapılacak tüm hukuksal Şikayetler doganinternet@hotmail.com ve streetken27@gmail.com dan iletişime geçilmesi halinde ilgili kanunlar ve yönetmelikler çerçevesinde en geç 1 (Bir) Hafta içerisinde bilqi.com yönetimi olarak tarafımızdan gereken işlemler yapılacak ve size dönüş yapacaktır.
Powered by vBulletin® Version 3.8.4
Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Search Engine Optimisation provided by DragonByte SEO v2.0.36 (Lite) - vBulletin Mods & Addons Copyright © 2017 DragonByte Technologies Ltd.

Android Rom

Android Oyunlar

Android samsung htc

Samsung Htc

Nokia Windows