Bilqi Forum  

Geri git   Bilqi Forum > > >

ÖDEVLERİNİZİ BULMAKTA ZORLANIYOMUSUNUZ!

SORUN ANINDA CEVAPLIYALIM.

TÜM SORULARINIZA ANINDA CEVAP VERİLECEKTİR !

Sitemize Üye Olmadan Konulara Cevap Yazabilir Ayrıca Soru Cevap Bölümüne Konu Açabilirsiniz !

Yeni Konu aç Cevapla
 
Seçenekler Stil
Alt 03-13-2008, 18:49   #1
Yaso
Operator
 
Yaso - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Üyelik tarihi: Jan 2008
Mesajlar: 32.967
Tecrübe Puanı: 1000
Yaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond reputeYaso has a reputation beyond repute
Standart EvrİŞİm (convolution) Ve Uygulamalari

EVRİŞİM (CONVOLUTION) VE UYGULAMALARI

1.1. Giriş
Evrişim (convolution) uzun yıllardır bilinen ve uygulanan bir matematiksel işlem olmakla birlikte bu işlemi tanımlamak için matematikte çok çeşitli terimler kullanılagelmiştir. Örneğin yığışım tümlemesi (superposition integral), tarama (scanning) tümlemesi, Duhamel tümlemesi , yuvarlatma (smoothing) tümlemesi, ağırlıklı ortalama ve Almanca’da katlama (faltung) tümlemesi bunlar arasında sayılabilir. Fizikte ise evrişim, matematik tanımı yerine, daha çok bir işlem olarak ele alınır ve bir aygıtla kaydedilen bir büyüklük üzerinde aygıtın etkisini belirlemek amacıyla kullanılır.
Gerçekte bir ölçü aygıtının, kaydettiği bir zaman imine karşı belirli bir tepkisi, davranışı vardır. Yani bir zaman imini kaydeden bir aygıt, her değişik frekanstaki genlikleri belirli bir katsayı ile çarparak ağırlıklandırır. Bu yollada alete giren imin çeşitli frekanslardaki genlikleri farklı ölçülerde ağırlıklandırıldıklarından, başka bir ime dönüştürülmüş olmaktadır. Kayıt aygıtının bu dönüştürme özelliğine onun dönüşüm (transfer) fonksiyonuadı verilmektedir. Bu olgu yalnız kayıt aygıtı için değil, tüm algılıyıcılar için geçerlidir. Örneğin bir deprem kaydını ele alırsak, bu bir sismogramdır, pek çok bilgiler taşımaktadır, ancak kaydettiği, yer hareketinin bir koyesi değildir. Her- şeyden önce sismometre aygıtı ile yer hareketinin belirli bir yöndeki (N-S ya da E-W) bileşeni kaydedilmek istenmektedir. Sismometrenin kendine özgü bir dönüşüm fonksiyon vardır. Bu dönü- şüm fonksiyonun özelliklerine bağlı olarak, frekans seçiciliğinin de ötesinde, yer hareketinin yer- değiştirmelerini (displacement), hızını ya da ivmesini algılayabilir. Böylece de sismometrenin çıkış imi başka bir ime dönüşmüş olmaktadır. Bu nedenle de aynı istasyonda kısa ve uzun periyodlu sismometrelerle kaydedilmiş sismogramlar çok önemli ayrılıklar gösterirler.
Evrişim zamanla değişmeyen tüm doğrusal dizgiler için geçerli bir işlemdir. Bir dizgede giriş imi ile çıkış arasında doğrusal bir ilişki varsa bu dizgiye <<doğrusal dizge>> adı verilir. Çoğu jeofizik uygulamada yeryuvarının kendiside bir doğrusal dizge gibi davranır, kaynakta oluşturulan uyarı imine belirli bir tepki göstererek onu başka bir ime dönüştürür. Kaynakta belirli bir biçime sahip olan uyarı dalgacığı yer tarafından biçim değişikliğine uğratılarak algılama noktasında başka bir dalgacık biçiminde gözlenir. Yerin dönüşüm fonksiyonu katmanlı yapıya ve bu yapı içindeki fiziksel özelliklere bağlı olarak değişir. Bu nedenle yerin belirli bir uyarıya karşı dönüşüm fonksiyonunu bulmakla yer içini modellemek eş anlamlıdır. Bu nedenle de evrişimin jeofizikte çok çeşitli uygulamaları vardır.




1.2. Sürekli zaman fonksiyonlarının evrişimi
Zaman sürekli fonksiyonları olan f1(t) ve f2(t) gibi iki fonksiyonun evrişimi, matematikte


(1.1)


tümlesi ile tanımlanır ve evrişim tümlemesi (convolution integral) adı verilir. Evrişim (convolved) fonksiyon yine bir zaman fonksiyonudur.
Evrişim simgesel olarak (*) işaretiyle de gösterilir, yani (1.1) bağıntısı



(1.2)


biçiminde yazılabilir.
Evrişime giren f1(t) fonksiyonunun t=0 zamanından önce tanımlanmamış olması du-rumunda (causal) (1.1) tümlemsinin alt sınırı sıfır değerinden başlar ve


(1.3)


bağıntısıyla gösterilir.
Evrişim işlemi bir doğrusal dizgenin girdi ve çıktısını düzenlediğinde, (1.2) bağın-tısından



(1.4)

yazılabilir; burada y(t) doğrusal dizgenin çıktısını, x(t) girdi imini, h(t) de doğrusal diz-genin impuls tepkisini simgelemektedir. Çoğu uygulamada doğrusal düzgenin impuls tepki fonksiyonu tek yanlı yani t<0 için h(t)=0 olmak zorundadır; bu durumda >t de-ğerinde h(t- )=0 ve tümlemenin üst sınırı yerine t değeri alır. Impuls tepki fonk-siyonunun tek yanlı olmaması durumunda girdi imi henüz doğrusal dizgeye girmeden bir çıktının elde edilmesi gibi bir durum ortaya çıkacaktır. Gerek girdi imi, gerekse dizge fonksiyonunun tek yanlı olması durumunda (1.3) evrişim tümlemesi


(1.5)

biçimini alır.
Girdi iminin genel, doğrusal dizgenin tek yanlı olması durumunda evrişim tümleme-si


(1.6)


biçimini alır.
Evrişim tümlemesini dikkatle inceleyecek olursak bazı özellikler taşıdığını kolayca görürüz. Örnek olarak x(t) ve h(t) gibi iki tek yanlı zaman fonksiyonunun evrişimini ele alır ve bu evrişimin sonucunun y(t) gibi bir zaman fonksiyonu olduğunu düşünürsek




bağıntısından evrişim sırasında h(t) nin ters çevrilmiş (düşey eksene göre) ve t kadar kaydırılmış biçiminin yer aldığını görürüz. Şu halde x(t) evrişen, h(t)evriştiren fonksi-yon olarak tanımlanırsa,evrişim için evriştiren fonksiyonun ters çevrilmesi gerekmek-tedir. Bu nedenle evrişim tümlemesine Almanca literatürde katlanma (faltung) tümlemesi adı verilir. Evrişimin katlanma özelliği beraberinde hemen başka bir özelliği getirmektedir: yerdeğiştirme (komütatiflik) özelliği. Nitekim,


(1.7)


yada simgesel olarak





yazılabilir. (*) simgesiyle gösterdiğimiz evrişim işleci sanki çarpma işleci imiş gibi düşünülebilir. Buna göre evrişimde




assossiyatiflik ve distribütiflik özellikleride geçerlidir.
Evrişim tümlemesini incelemeyi sürdürürsek, evrişen fonksiyonla evriştiren, katlanıp kaydırılmış fonksiyonun çarpımının sıfır ile t aralığında tümlenmekte olduğunu görürüz. Burada t kaymayı simgelediğine göre,tümleme sıfır ile kayma değeri arsında hesaplanmakta ve tümlemenin sonucu, evrişim sonunda oluşan y(t) fonksiyonunun t zamanındaki değerlerin vermektedir. Tümleme bir alan hesaplamasına denk olduğuna göre, birbirine göre kaydırılmış fonksiyonların çarpımından oluşan bir çarpım fomksi-yonu ile ekseni arasında kalan alan hesaplanarak y(t) fonksiyonunun t kayma zamanındaki değerine atanıyor demektir. Tümleme aynı zamanda bir ortalama alma işlemi olduğuna göre, evrişim işlemi de kayan ortalama işleminden çok ağırlıklı ortala-madır. Bu yönü ile de evriştiren h(t) fonksiyonu bir ağırlık fonksiyonu olarak değerlendirilebilir.
Evrişim ile ilgili önemli özelliklerden biride bir fonksiyonun birim impuls fonksi-yonu (t), t=0 zamanında birim genliğe, bunun dışındaki tüm zamanlarda sıfır değeri-ne sahip bir fonksiyondur. Gerçekte matematik açıdan tam anlamıyla bir fonksiyon olmamakla birlikte, çok büyük yararlar sağlaması nedeniyle mühendislik problemlerinde bir fonksiyon gibi ele alınır. Yukarıdaki tanıma göre
(1.8)


yazılabilir.
Daha yukarılarda olduğu gibi bir doğrusal dizgenin ağırlık fonksiyonunu h(t), girdi-sini x(t), çıktısını y(t) ile göstererek girdi-çıktı ilişkisini






evrişim bağıntısıyla gösterelim. Doğrusal dizgeye bir birim impulsın girdiğini düşünür-sek





(1.8) bağıntısı ile verilen özellik nedeniyle de





bulunur. Bu durumda, doğrusal dizgeye bir ibrim impuls girdiğinde çıktı olarak h(t) ağırlık fonksiyonu alınıyor demektir. Şu halde bir doğrusal dizgenin ağırlık fonksiyonu dizgenin birim impulsa verdiği yanıttır. Bu nedenle doğrusal dizgelerin ağırlık fonksiyonlarına <<impuls tepki fonksiyonu>> adı verilmektedir.
Buraya kadar evrişim işlemini zaman ortamında ele aldık. Aslında böyle bir sıralama yoktur. Tümlenebilen fonksiyonlar tanımlanabildikleri tüm ortamlarda evrişebilirler. Örneğin x uzaklık boyutunu göstermek üzere

(1.9)
bağıntısı p ve q fonksiyonlarının uzaklık ortamındaki evrişimini simgelemektedir.
Verilen bir ortamda tanımlanmış bir evrişim işlemini başka bir ortama aktarmak ta olanaklıkdır. Örneğin, zaman ortamındaki evrişimi frekans ortamına, uzaklık orta-mındaki evrişimi dalga sayısı ortamına aktarabiliriz. Zaman ortamında tanımlanmış





evrişimini frekans ortmına aktarmak isteyelim. Bir fonksiyonun zaman ortamından frekans ortamına aktarımı Fourier dönüşümü olarak bilinir. Fourier dönüşümü bir dönüşüm çiftidir ve


(1.11)


bağıntıları ile tanımlanır. Bunlardan ilki Fourier dönüşümü, ikincisi ters Fourier dönüşümüdür.
(1.10) bağıntısı ile verilen zaman ortamı evrişimini frekans ortamına aktarmak için, (1.11) bağıntılarından ilkini kullanarak, her ikiyanının Fourier dönüşümünü almak gerekir:



(1.12)

Tümleme sırasını değiştirip yeniden yazarak


(1.13)


buluruz. Bu bağıntıda p=t- dönüşümü yaparsak parantez içindeki tümleme


(1.14)


biçimini alır. Sağdaki tümleme h(p) nin Fourier dönüşümü, yani H( ) dır. Buna göre (1.14) bağıntısı (1.13) te yerine konursa


(1.15)


buluruz. Burada da eşitliğin sağ yanındaki tümleme x( ) nun Fourier dönüşümü olan
X( ) dır. Buna göre (1.15) bağıntısı kısaca


(1.16)


olarak yazılabilir. (1.16) bağıntısı bize (1.10) bağıntısının Fourier dönüşümünü, yani zaman ortamındaki evrişimin frekans ortamındaki ifadesini vermektedir. Dikkat edilirse (1.10) bağıntısındaki evrişim (1.16) da çarpma işlemine dönüşmüştür. Benzer işlemleri yaparak (1.16) bağıntısından kalkarak (1.10) bağıntısına ulaşmak ta olanaklıdır. Kuşkusuz bu kes dönüşümde ters Fourier dönüşümü uygulamamız gerekecektir. Özetle evrişimdeki bu dönüşüm özelliği tersinir bir özelliktir ve simgesel olarak


(1.17)


biçiminde gösterilebilir. Buna evrişim teoremi adı verilir.
Evrişim işlemini basit bir çarpma işlemine dönüştürmesi nedeni ile evrişim teore-mi çok önemli yararlar sağlamaktadır. Fourier dönüşümünün tersinirlik özelliği frekans ortamından kolayca zaman ortamına geçebilmeyi sağladığından, evrişim yerine frekans ortamında çarpma işlemi yapıp ters Fourier dönüşümü ile yeniden zaman ortamına dönülebilir.






























1.3. Doğrusal dizge kuramı açısından evrişim

Basit bir zamanla değişmez doğrusal dizgenin girdi/çıktı ilişkilerini tanımlayan evrişim işleminin tüm doğrusal dizgeler için geçerli ve çok çeşitli olması nedeni ile bu alt bölümde evrişimin bu açıdan apayrı ele alınmalıdır.
Doğrusal dizgelere ilişkin problemleri birkaç kümeye ayırarak incelemek olanaklıdır. Bunlardan bir kesiminde doğrusal dizgenin girdi ve çıktısı bilinmekte ancak dizge yanıt fonksiyonu bilinmemektedir. Bu tür problemler kara kutu problemleridir. Bu tür problemler bir bakıma istenen nitelikte bir çıktıyı verecek bir işlecin (opera-tör) modellenmesi söz konusu olduğunda karşımıza çıkarlar.
Doğrusal dizge problemlerinin bir bölümü de MA (kayan ortalama) süreçlerinin modellenmesi amacıyla karşımıza çıkarlar. Örneğin girdisi beyaz gürültü olan bir doğrusal dizgenin çıktısı bir kayan ortalama stokastik sürecidir. Genel olarak bilinen bir doğrusal dizgenin bir zaman imi ile evrişimi türünde olan tüm problemler bu kümeye girerler. Birinci kümedeki problemlerde x(t) ve y(t) biliniyorken h(t) nin bilinmesi söz konusu iken bu tür problemler doğrudan evrişim uygulaması türündendir-ler ve x(t) ve h(t) biliniyorken y(t) nin bulunması amacına yöneliktirler.
Doğrusal dizgelerle ilgili problemlerin üçüncü türünde ise dizge fonksiyonu ve çıktı biliniyorken girdi imi kestirilmeye çalışılır. Görüldüğü gibi bu tür problemlerde ters yol izlenmekte ve çıktıdan kalkarak girdiye ulaşılmaya çalışılmaktadır. Çıktı, girdi ile dizge fonksiyonunun evrişimi olduğuna göre işlem evrişimi kaldırma işlemidir ve yu-karıda da değinildiği gibi bir ters problemdir. Bu nedenle bu türden problemlere ters evrişim <<Deconvolution>> adı verilir. Soruna analitik olarak yaklaşacak olursak bu sonuncusunda x(t) girdisi, tümleme içinde, bilinmeyen bir fonksiyon olarak yer almakta ve bu yönüyle de problem bir tümleme denklemini çözmeye dönüşmektedir.
Evrişim doğrusal dizge kuramı açısından irdelenmesini daha iyi açıklayabilmek bakımından her üç küme probleme örnekler vererek değinmekte yarar vardır. Aslında ilk bakışta karmaşık gibi görünen bu problemler konuya evrişim kuramı ile yaklaşıldı-ğında çok kolay anlaşılır duruma dönüşmektedirler.
Daha önce değindiğimiz gibi doğrusal dizgenin girdi/çıktı ilişkilerini tanımlayan (1.10) bağıntısına evrişim teoremini uygulayarak frekans ortamına geçildiğinde





bulunmaktaydı. Burada Y( ), girdinin, H( ) da dizge fonksiyonunun Fourier dönüşüm-leridir. Doğrusal dizgelerin dizge ağırlık fonksiyonlarının Fourier dönüşümü olan
H( ), <<Dönüşüm Fonksiyonu>> (transfer function) olarak adlandırılır. Daha önce üç kümeye ayırarak yazdığım problemlerin her birinde (1.10) evrişim bağıntısında yer alan fonksiyonlardan ikisi biliniyorken üçüncüsünü bulmak söz konusu olmaktadır. Örneğin, birinci küme problemde h(t) nin bulunması söz konusudur. (1.16) bağıntısını yineleyerek yukarıda yazdığım bağıntıdan frekans ortamında,

ÇIKTI = GİRDİ . DÖNÜŞÜM FONKSİYONU

Olduğuna göre, bilinmeyen dönüşüm fonksiyonu için


(1.18)

yazılabilir. Buna göre aranan sistem ağırlık foksiyonunun Fourier dönüşümü (dönüşüm fonksiyonu) çıktı ile girdinin Fourier dönüşümlerinin oranına eşittir. Gerçekte aranan dizge ağırlık fonksiyonu h(t) olduğuna göre, frekans ortamındaki H( ) dönüşüm fonksiyonunun ters Fourier dönüşümünü hesaplamamız gerekmektedir.
Bu tür bir probleme örnek olşturmak için sayısal türev hesaplayan bir doğrusal dizge modellemek isteyelim. Öyle bir dizge bulalımki bunun girdisi x(t) gibi bir zaman fonksiyonu çıktısı ise bunun zamana göre birinci türevi olsun.
Modellemeyi amaçladığımız bir doğrusal dizgenin ağırlık fonksiyonu başka bir deyimle onun impuls tepkisi, yani impuls biçimli bir girdiye yanıtıdır. Öyleyse en uygun yol olarak dizgeye impuls biçimli bir imin girdiğini varsayalım. Karmaşık (complex) gösterimle böyle bir girdiyi


(1.19)

bağıntısıyla yazabiliriz. Problemimiz gereği, doğrusal dizgenin bu girdiye yanıtı, yani çıktısı bunun zaman göre birinci türevi olacaktır. Bu durumda çıktı için türev olarak kolayca


(1.20)


yazabiliriz. (1.10) evrişim bağıntısını kullanarak girdi ile çıktı arasındaki ilişkiyi


(1.21)


biçiminde gösterebiliriz. Evrişim teoremi uyarınca her iki yanın Fourier dönüşümünden


(1.22)


ve dizgenin genlik spektrumu için


(1.23)


bulunmuş olur.
(1.23) bağıntısı türev işlemi yapan bir doğrusal dizgenin genlik dönüşüm fonksiyo-nunu tanımlamaktadır. Gerçekte istenen dizgenin impuls tepki fonksiyonu, yani (1.22) bağıntısının ters Fourier dönüşümüdür.
Temel ilkeleri bakımından problemin çözümü böylesine yalın olmakla birlikte uygulamada çeşitli sorunlarla karşılaşılabilir. Böyle bir dizgenin gerçek imlere uygulanabilir olması için dizgenin iki önemli özelliğinin bulunması gerekir. Bunlardan birincisi dizgenin <<causal>> olması koşuludur. Bu durumda daha yukarlarda değindiğim gibi evrişim tümlemesinin sınırı olmaktan kurtulmaktadır. İkinci önemli koşulda dizgenin duyarlı olma koşuludur. Bunun için de dizge fonksiyonunun


(1.24)

koşulunu sağlaması gerekir. Bu koşul aynı zamanda beraberinde dizge çıktısının toplam enerjisinin sonlu olması koşulunu getirir. Buna karşın (1.23)bağıntısına baktığımızda için H( ) olduğunu yani frekans büyüdükçe çıktı iminin genliklerinin tekdüze arttığını ve enerjisinin sonsuza ulaştığını görmekteyiz. Bu sakıncanın ortadan kaldırılması için bu örnekte türev hesaplayan dizgenin dönüşüm fonksiyonunun bandı sınırlı olması gerekmektedir. Sonlu impuls tepkili (FIR) süzgeç modelleme tekniklerini kullanarak yeterince geniş frekans bandlı, en iyileştirilmiş (Optimal) türev hesaplayıcı düzenlemek olanaklıdır.
Yukarıda da değindiğm gibi, Jeofizikte daha çok ikinci türevler kullanılmaktadır. Benzer yoldan giderek çıktısı ikinci türev olan bir dizgenin dönüşüm fonksiyonu


(1.25)


olarak bulunur. İkinci türev, birnci türevin ardışık kullanımı olduğuna göre, aslında bu bulduğumuz sonucu, birinci türev işlecinin karesini alarak ta bulabilirdik.
Gravitede düşey doğrultudaki ikinci türevler, Laplace denkleminden yararlanarak, yatay ikinci türevlerden hesaplanmaktadır.





öte yandan, x ve y doğrultusundaki açısal frekanslar ve olmak üzere düşey ikinci türevi hesaplayan doğrusal dizgenin dönüşüm fonksiyonu




koyarak ta

(1.26)


olarak bulunmuş olur.
İkinci tür evrişim problemlerinde bilinen girdiye dizgenin çıktısının arandığına değinmiştik ki bu doğrudan evrişim uygulamasıdır ve en geniş uygulama alanına sahip olan kesimdir. Yapılan işlem gerçekte bir frekans süzgeçlemesi olmasa da bu tür problemlere çoğu zaman süzgeçleme denmektedir, zira en geniş uygulama süzgeçle-medir.

1.4. Ayrık verilerin evrişimi

Buraya kadar olan konular içinde evrişimi özgün tanımıyla ele aldım ve özelliklerini, uygulama alanlarına değindim. Ancak, bir tümleme olarak evrişimi uygulamak pratikte pekçok güçlükler yaratır. Hesaplama güçlüklerininde ötesinde, verilen her zaman değeri için tümleme işleminin yinelenmesi kuşkusuz çok zaman alacaktır. Bu nedenle uygulamada evrişim çoğu zaman ayrık değerlerle hesaplanır. Bu amaçla yapılan işlem evrişim tümlemesini bir toplama dönüştürmek olduğundan, gerçekte bu yolla bulunan evrişim, yaklaşık evrişimdir.
Eşit aralıklarla örneklenmiş iki xk ve hk dizisinin sayısal evrişimi genel ve tek yanlı olmalarına bağlı olarak ve tümlemeleri toplama dönüştürerek





bağıntıları ile tanımlanır. Ancak, uygulamda genellikle duyarlı ve tek yanlı dizgeler ele alındığından sayısal evrişim için


(1.28)


bağıntısı kullanılır.
(1.28) bağıntısına göre ayrık evrişimin hesaplanması için

• Dizilerden biri ters çevrilir
• Ters çevrilen dizi ötekine doğru kaydırılır
• İki dizinin karşılıklı üyeleri çarpılır
• Çarpımların toplamı evrişmiş değeri verir.
(1.28) bağıntısıyla tanımlanan çarpımlar serilerin çarpımlarında ortaya çıktığından ayrık evrişim işlemi <<seri çarpımı>> olarak da adlandırılır (Bracewell, 1965). Çarpımın sonunda





gibi yeni bir seri oluşmaktadır.
Sayısal evrişim işleminin adımlarını şöyle açıklayabiliriz :

EVRİŞİM





Yukarıdaki işlem xk dizisi hk dizisinden çıkana dek sürdürülür. Bu işlemi xk dizisinin ters çevrilmiş biçimini bir kağıt şeride yazarak şeridi adım adım kaydırıp çarpma ve toplamları yaparak kolayca gerçekleştirebiliriz.
Ayrık evrişim bazı önemli özelliklerine değinmekte yarar vardır. Daha yukarıda evrişim hesaplamalarında açıkça görüldüğü gibi evrişen iki dizinin ilk üyelerinin karşı karşıya gelişinden son üyeleri karşı karşıya gelene dek seri çarpımı sıfırdan farklı değerler almaktadır. Bu durum evrişmiş dizinin evrişime giren dizilerden daha uzun olması sonucunu doğurmaktadır.







evrişimde xk dizisinin M, hk dizisinin N üyesinin bulunduğunu düşünürsek, yk nın uzunluğu (M + N – 1) olmaktadır. Örneğin




dizilerini evriştirirsek





dizisini buluruz. Evrişimin sonunda bulunan yk dizisinin uzunluğu 5+3-1=7 dir.
Ayrık evrişimin bir başka özelliğide evrişen dizilerin üyelerinin toplamlarının çarpımının evrişim sonucu oluşan dizinin toplamına eşit olması özelliğidir. Bu özellik yapılan evrişim işleminin sağlamasını yapmak için kolayca kullanılabilir. Nitekim, örnekte xk nın toplamı 5, hk nın toplamı 2, yk nın toplamı da 10 olup bu ikisinin çarpımına denktir. Ayrık evrişimi kolayca hesaplamanın bir yoluda ilişki hesplamasında olduğu gibi, bir katlamalı çizelge oluşturmaktır. Ancak evrişimde, ilişkide olduğu gibi dizilerden biri ters çevrilmez, her ikisi de normal sıralarında yazılırlar. Bunu örneğe uygularsak şekil 1.1 deki çizelgeyi buluruz.


hk
1 -2 3
2 2 -4 6
1 1 -2 3
-3 -3 6 -9
1 1 -2 3
4 4 -8 12



xk












Şekil 1.1
Katlama şeritleri içindeki çarpımların toplamları evrişmiş değerleri verirler.





evrişim denkleminde her zaman xk ve hk bilinen diziler, yk aranan evrişim olmaayabilir. Kimi problemlerde girdi ve çıktı biliniyorken doğrusal dizge ağırlık fonksiyonu bulunmak istenir. Yani yk ve xk biliniyorken hk aranabilir. Bu tür problem çözümlerinde de katlamalı çizelgeden yararlanılabilir. Her şeyden önce hk nın uzunluğunun saptanması gerekir.xk nın uzunluğu M, yk nın uzunluğu L ise, hk nın uzunluğu N = L-M+1
dir, hk nın elemanlarını saptamak için N tane katlama şeridi yeterlidir ve bu amaçla da xk ve yk nın yalnızca ilk N elemanından yararlanılır.
Evrişim hesaplamasında kullandığımız katlamalı çizelgenin düşey ekseninde bilinen xk ların yer aldığını düşünelim. Aranan değerler de yatay eksen boyunca yer alacaklardır, yk nın değerleride katlama şeritleri içindeki çarpımların toplamıdır. Şeritlerin ilkinde yer alan y0=x0.h0 olduğuna göre, hk nın ilk değeri y0/x0 dan kolayca yazılabilir. Örneğin, basit bir örnek olarak




dizilerini ele alalım. L=5, M=3 olduğuna göre, hk nın uzunluğunun 3 olması gerekmekte-dir, h0=y0/x0 dan hk nın ilk elemanı 4/1=4 olarak bulunmuş olur. Çizelgenin birinci sütunu bu değerle xk ların çarpımlarına eşittir. Böylece birinci sütundaki elemanlar 4,8,12 olarak bulunmuş olur. İkinci şeridin ilk elemanı 8 olarak bulunduğuna göre, bu şeritteki toplam olan 10 ‘dan 8 ‘i çıkarmakla ikinci eleman 2, bunun x0 a bölünümünden de h1=2/1=2 olarak bulunmuş olur. Üçüncü şeritte üç çarpım vardır. Bunlardan ilki 12 olarak bulunmuştu. İkinciside h1.x1=2*2=4 tür. Bu şeritteki toplam 17 olduğuna göre, üçüncü çarpım değeri 17-(12+4)=1 olarak bulunur. Bunun x0 a bölünümü de 1/1=1, h2 yi verecektir. Buna göre bilinmeyen hk dizisi




olarak bulunmuş olur. Yapılan işlemleri Şekil 1.2 deki gibi bir katlamalı çizelgede gösterirsek ayrık evrişim iki polinomun çarpımı olarakta gerçekleşebilir. Nitekim,

4 2 1

1 4 2 1


2 8 4


3 12


Şekil 1.2







gibi iki polinomu çarparsak





buluruz. Çarpım sonuncu oluşan polinomu









biçimde gösterirsek, bu yeni polinomun katsayıları


(1.29)


olur. (1.29) toplamlarına dikkatle bakılacak olursa bunların (1.28) bağıntısıyla tanımla-nan ayrık evrişim işleminin terim terim yazılmış biçimi olduğu ve işlemin





den ibaret olduğu görülür. Buna göre iki dizinin elemanları birer polinomun katsayılarını oluşturacak biçimde düzenlenerek çarpılırsa, elde edilen polinomun katsayıları evrişmiş dizinin değerlerini verecektir. Buna örnek olarak yukarıda ele aldığımız iki diziyi kullanalım.





polinomları yazarsak






bu iki polinomun çarpımından da




buluruz ki bu polinomun katsayıları





evrişimini dizisini vermektedir. Evrişimin iki polinomun çarpımı olarak gerçekleştirile-bilmesi tersevrişimişleminide kolaylaştırmaktadır. Zira





olduğuna göre, bulunmak istenen h nın z dönüşümü





den iki polinomun bölümü olarak elde edilebilmektedir. Bölüm sonuncu bulunacak h(z) polinomunun katsayıları hk dizisini verecektir. Böylece bölüm 1.3 te açıklanan dizge modellemesinde olduğu gibi, çıktı ve girdinin Fourier dönüşümlerinin oranında ters Fourier dönüşümü hesaplamak yerine polinomları bölerek dizgeyi doğrudan zaman ortamında modelleme olanağı doğmaktadır.
Ayrık verilerin (1.28) bağıntısı ile tanımlanan evrişiminde uygulanan çarpma toplama işlemlerini bir dizey çarpımı biçimine dönüştürmek te olanaklıdır (Bracewell, 1965). Bu yolla evrişim işlemini bilgisayarlarda kolayca programlamak ve hazır dizey çarpımı programlarını kullanarak kolaylık sağlamak olanklıdır. Bu amaçla





evrişim bağıntısını



gibi bir dizey denklemine dönüştürmak gerekmektedir. Bu denklemde X, xk dizisinin elemanlrını oluşturduğu bir kare dizey, h, hk dizisinin, y de yk dizisinin oluşturduğu yöneylerdir, yk nın uzunluğu n ise, xk nın oluşturacağı X dizeyi nXn boyutunda bir kare dizey olacaktır. Bu dizeyin birinci sütununa xk dizisinin elemanları aynen yazılır, satır sayısını n’ ye tamamlayanadek sonuna sıfırlar eklenir. Dizeyin ikinci sütununa xk dizisi bir aşağıya kaydırılarak yerleştirilip, gerekiyorsa sonuna sıfırlar eklenir. Dizeyin geri kalan sütunlarına da yine xk dizisi her sütunda bir aşağıya kaydırılarak yerleştirilir. Böylece esas köşegenin üstünde sıfırların yer aldığı ve <<regresör dizeyi>> adı verilen bir kare dizey kurulmuş olur, h yöneyi hk dizisinden oluşur, ancak sonuna sıfırlar ekle-nerek boyu n’ ye ulaştırılır. Bu yolla bulunan X dizeyi ile h yöneyinin çarpımı y yöneyini verir.
Bu işlemi beş uzunluklu bir xk dizisi ile üç uzunluklu hk dizisinin evrişimine uygula-yalım. Evrişim sonucu oluşacak yk nınuzunluğu 5+3-1=7 olacağına göre, x dizeyinin 7X7 boyutunda olması gerekir. Buna göre dizeyi ve yöneyleri yazarsak





bulmuş oluruz. Nitekim, eşitliğin ikinci yanında yer alan yöneyi oluşturan çarpma ve toplamalara bakarsak bunların evrişim işlemleri olduğunu görürüz.
Bu işlemi daha önce ele aldığım sayısal bir örneğe uygularsam;




dizilerinin evrişimi beş uzunluklu olacaktır. Dizey ve yöneyi oluşturup çarpımı yaparsak





daha önce bulduğumuz gibi, yk dizisini





olarak elde etmiş oluruz.






















1.5. Evrişim ile ilişki arasındaki bağıntı

Evrişim ile çapraz ilişki arasında büyük bir benzerlik vardır. Her şeyden önce her ikisi de bir kaydırma, çarpma ve toplama işlemidir. Bir farkla ki evrişimde dizilerden biri ters çevrilmekte, ilişkide ise olduğu gibi kaydırmaktır. Nitekim, p ve q gibi iki zaman fonksiyonunun evrişimini





tümlemesi ile gösterelim. Fonksiyonlardan birini ötekine göre yeniden ters çevirmek için x =- koyarak





bulunur. Bu bağıntıda x yerine t, t yerine koyarsak





buluruz. Bu bağıntı p(t) ile q(-t) nin çapraz ilişkisini göstermektedir, q(-t) ise q nun zaman ekseni boyunca ters çevrilmişidir.








1.6. Uygulamalar

Sismometreyi lineer sistemlere örnek olarak alabiliriz. İki farklı giriş sinyali (hn ve xn) için, çıkışlar (yn) olsun. Bu farklı giriş sinyalleri aynı anda sisteme girişi için ayrı ayrı çıkışlarının toplamı şeklinde ifade edilebilir.
Birim genlikli bir impuls giriş fonksiyonu ve bunun sistem çıkışı ‘‘birim impulse ya-nıtı’’ örneği için


ve bu xn girişi ile yn yanıt fonksiyonunu oluşturan hn


xn ve hn girişleri için oluşacak, yn sistem yanıt fonksiyonu

şeklinde olur.
Giriş sinyali üç ‘‘birim impuls’’ ise



Buna göre yanıt fonksiyonu yn ;


şeklinde olur.
Burada xn giriş fonksiyonu dışarıdan gelen etkidir (deprem, balyozla yere vurulan bir darbe vs.), hn birim impuls yanıt fonksiyonu; yn, birim impuls yanıt fonksiyonu hn ve xn girişi için genelleştirilmiş sistem yanıt fonksiyonudur. Ve yn

(A)



olarak yazılabilir. Üst limit n’ e dönüşmüştür. Sistemlerin ‘‘causality’’ özelliği nedeniyle negatif impulse yanıtları (hn) bütün negatif zamanlar için sıfırdır.

A bağıntısından değiştirilerek elde edilen



bağıntı için yazılan program şöyledir ;


c ************************************************** ********
c convolution & demortration
c ************************************************** ********
parameter (nh=8,nx=8,ny=12)
dimension h(nh),x(nx),y(ny)
data h/1.0,0.8,0.3,0.7,0.0,0.4,0.3,0.2/
data x/0.8,0.6,0.5,0.5,0.3,0.1,0.1,0.4/
call conv(h,nh,x,nx,y,ny)
open(1,file='sonuc',status='new')
write(1,100)y
100 format(' Sonuçlar - yalnızca y '//tr5,'Y'/
* (f6.3))
close(1)
stop
end
c ************************************************** ********
subroutine conv(h,nh,x,nx,y,ny)
c
c convolution y=h*x
c
dimension h(nh),x(nx),y(ny)
do 100 n=1,ny
sum=0.0
do 110 k=1,n
if(k.gt.nx) go to 110
if(n-k+1.gt.nh) go to 110
sum=sum+x(k)*h(n-k+1)
110 continue
y(n)=sum
100 continue
return
end

Program çalıştırılıp sonuçları alırsak,
Sonuçlar - yalnızca y
Y
.800
1.240
1.220
1.640
1.270
1.160
1.100
1.260
.890
.560
.510
.130
Programdan alınan sonuçlarla x, h, y ‘ nin t(zaman)’a bağlı grafikleri aşağıdaki gibidir.
Yaso isimli Üye şimdilik offline konumundadır   Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Bookmarks


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
Sizin Yeni Konu Acma Yetkiniz var yok
Sizin Konu Yanıtlama Yetkiniz var
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı

Gitmek istediğiniz klasörü seçiniz


Şu Anki Saat: 06:34


İçerik sağlayıcı paylaşım sitelerinden biri olan Bilqi.com Forum Adresimizde T.C.K 20.ci Madde ve 5651 Sayılı Kanun'un 4.cü maddesinin (2).ci fıkrasına göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur. bilqi.com hakkında yapılacak tüm hukuksal Şikayetler doganinternet@hotmail.com ve streetken27@gmail.com dan iletişime geçilmesi halinde ilgili kanunlar ve yönetmelikler çerçevesinde en geç 1 (Bir) Hafta içerisinde bilqi.com yönetimi olarak tarafımızdan gereken işlemler yapılacak ve size dönüş yapacaktır.
Powered by vBulletin® Version 3.8.4
Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Search Engine Optimisation provided by DragonByte SEO v2.0.36 (Lite) - vBulletin Mods & Addons Copyright © 2017 DragonByte Technologies Ltd.

Android Rom

Android Oyunlar

Android samsung htc

Samsung Htc

Nokia Windows