Bilqi Forum  

Geri git   Bilqi Forum > > >

ÖDEVLERİNİZİ BULMAKTA ZORLANIYOMUSUNUZ!

SORUN ANINDA CEVAPLIYALIM.

TÜM SORULARINIZA ANINDA CEVAP VERİLECEKTİR !

Sitemize Üye Olmadan Konulara Cevap Yazabilir Ayrıca Soru Cevap Bölümüne Konu Açabilirsiniz !

Yeni Konu aç Cevapla
 
Seçenekler Stil
Alt 04-07-2009, 11:48   #1
Korax
Android Destek
 
Korax - ait Kullanıcı Resmi (Avatar)
 
Üyelik tarihi: Jan 2008
Yaş: 34
Mesajlar: 21.062
Tecrübe Puanı: 1000
Korax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond reputeKorax has a reputation beyond repute
Korax - MSN üzeri Mesaj gönder
Standart DaĞilim fonksİyonu

DAĞILIM FONKSİYONU
X , olasılık fonksiyonu P olan ve örnek uzayı S'de tanımlanmış bir rastgele değişken olsun. Herhangi bir gerçel değer x için X'in birikimli dağılım fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde x'e eşit veya ondan küçük değeri olan ve S örnek uzayında X rastgele değişkeni ile ilişkili olan olasılıktır.
f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip X rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu,
f(x) = P( X x ) = - x f(x).dx olarak tanımlanır.
Daha önce a ve b ( ) arasında bulunma olasılığın P(a < x < b) ile göstermiştik. olasılık da f(x) eğrisi, x ekseni ve x=a , x=b doğrularıyla sınırlanan alana eşittir.Yani; P( a x b )
dır. Ayrıca X sürekli rastlantı değişkeni için a < x < b, aralıklarına gelen olasılıklar aynı idi.
Not: X sürekli bir rastgele değişken ise F fonksiyonu da bütün x değerleri için süreklidir.
Örnek: X rastgele değişkenin olasılık fonksiyonu,

birikimli dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:




Teorem: F(x)' in dağılım fonksiyonu ise aşağıdaki şartlar sağlanır.
i) F artan bir fonksiyondur.Yani x1 x2 ise F(x1) F(x2)
ii) F(x)=0 ve F(x) = 1
( Genellikle F(- ) = 0 ve F( ) = 1 diye yazılır.)
İspat:
i) A ve B olaylarını şöyle tanımlayalım:
A = , B = O halde,x1 x2 olduğundan A B yazılır. Burada p(A) p(B) olduğu görülür.
p(A) = p(X x1) = F(x1)
p(A) = p(X x2) = F(x2) yazılabileceğinden
F(x1) F(x2) bulunur.
ii) Sürekli halde F(x) = x f(x) dx olduğunu biliyoruz.
Böylece;

Diğer yandan
olduğu f(x)' in olasılık yoğunluk fonksiyonu olmasından yazılır.
Teorem
a) X sürekli rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu f , dağılım fonksiyonu F olsun. O halde bütün x değerlerinde diferansiyellenebilir F fonksiyonu için;
olduğu görülür.
olmak üzere herhangi a ve b gerçel sayıları için

b) X , x1 < x2 < .......... Gibi sıralı x1,x2, .......... Değerlerini alabilen kesikli rastgele değişken olsun. F(x) , X'in dağılım fonksiyonu ise bu takdirde f(x1) = F(x1) ve f(xj) = p(x - xj) = F(xj) - F(xj - 1)'dir
Örnek: X rastgele değişkeninin dağılım fonksiyonu

0 , x < 1
1/3 , 1 x
1/2 , 4 x
5/6 , 6 x <10
1 , x 10
a) Dağılım fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
b) P(2 < x olasılığını bulunuz.
c) P( x = 4) olasılığını bulunuz.
d) X'in olasılık fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:

b-
c-
d-


X 1 4 6 10
F(x) 1/3 1/6 1/3 1/6
Örnek: X sürekli rastgele değişkeni için yoğunluk fonksiyonu



verilsin dağılım fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:

f(x) in elde edilişini gösterelim.


olduğundan, in eklenmesiyle için
olacaktır.
Örnek: Dağılım fonksiyonu aşağıdaki verilsin, olasılık fonksiyonunu bulalım







Dağılım fonksiyonun tanımlı olduğu aralıklarda türev alınırsa f(x) olasılık fonksiyonu bulunduğundan,





Grafiği;


İKİ BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLER
Bazı devrelerde birden fazla rastgele değişken bulunabilir. Örneğin seçilen bazı kişilerin boy ve ağırlıkları verilsin. Eğer biz bu kişilerin sadece boylarıyla ilgileniyorsak tek ir rastgele değişken alırız. Fakat seçilmiş bu kişilerin boy uzunluklarını (x) ve ağırlıklarını (y) birlikte inceliyorsak iki boyutlu rastgele değişkeni göz önüne almamız gerekir.
Tanım: S bir denemenin örnek uzayı olsun. Her gerçel s S için X=x (s) ve Y=y (s) rastgele değişkenleri tanımlansın. (x,y)'ye iki boyutlu rastgele değişken denir.
Tanım: (x,y) nin olası değerleri sonlu yada sayılabilir sonsuzlukta ise, (x,y) nin olası değeri
{ (x i , yj) = (i= 1,2, .......,m) , (j= 1,2,.....,m)}
biçiminde tanımlanır.
Tanım: (x,y) nin olası değerleri öklid düzlemde sonsuz bir küme oluşturuyorsa; (x,y) iki boyutlu sürekli rastgele değişkendir.
Örnek: İki taraflı para atıldığında, T tura Y yazı olmak üzere örnek uzayı;
S={ (T,T), (Y,T), (Y,Y), (T,Y)} olur. Burada x1 birinci, x2 ikinci paraya karşılık gelir.
1 Tura
0 Yazı şeklinde ele alalım.
X= (x1, x2) iki boyutlu bir rastgele değişken olur. Bu durumda
X(TT) = (1,1) , X (T,Y) = (1,0) , X (Y,T) = (1,0) X (Y,Y) = (0,0) olur. Buradan x rastgele değişkenin değer kümesi
A= { (1,1,), (1,0), (0,1), (0,0)} bulunur.
Şimdi olasılıkları x ile gösterelim;
P (ikiside tura) = P (x1 =1, x2= 1)
P (biri yazı ise) = P (x1=0, x2=1) veya (x1 =1, x2= 0)
P (birinci tura) = P (x1 =1, x2= 0) veya P (x1 =1, x2= 1)
P (2.sinin yazı geldiği bilindiğinde 1.tura) = P (x1 =1, x2= 0) ve benzer şekilde diğer olasılıklarda yazılabilir.
İKİ BOYUTLU RASSAL DEĞİŞKENLERİN FONKSİYONLARI
X ve y rassal değişkenler olup, z= U (x,y) fonksiyonuna sahip olsunlar. Z'nin de bir rassal değişken olduğunu daha önce incelemiştik. Çoğu kez z=x+y, z= x.y, x=x/y,
z= min (x,y), z= max (x,y) olarak tanımlanmış rassal değişkenler ve bunların fonksiyonları incelenebilir. Bir başka ifadeyle bu bölümde X ve Y'nin ortak olasılık fonksiyonu verildiğinde Z= U (x,y)'nin olasılık dağılımının nasıl bulunacağını ele alacağız.
ORTAK OLASILIK FONKSİYONU
Birden fazla rassal değişkenin tanımlandığı bir çok deney veya problem vardır. Öğrencilerin almış olduğu notlar ile yaşları arasındaki bir ilişkiyi ortaya koymak için bir araştırma yaparken, meslek grupları ile oturulan konut büyüklüklerinin arasındaki ilişkiyi incelerken, partilerin illere göre oy dağılımının araştırmasını yaparken ve bunun gibi birçok olayları incelerken ortak olasılık fonksiyonunu kullanırız.
(x,Y) iki sayısal karakter olan X ve Y ile ölçülmüş bir rassal deneyin sonucunu gösteriyorsa, o iki boyutlu rassal değişkendir. (x,y) birleşiminden birisi kesikli olurken diğeri sürekli olabilir. Ama biz bu çalışmada yalnızca ikisininde ya kesikli yada sürekli olacağını kabul edeceğiz.
TANIM - KESİKLİ ORTAK OLASILIK FONKSİYONU
X ve Y aynı örnek uzayda tanımlanmış, iki kesikli rassal değişken olsun. X ve Y'nin ortak olasılık fonksiyonu Pxy (x,y) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi tanımlanır.
Pxy (x,y) = P (x,y) = P ( { s S X (s) x, Y(s) = y} )
= P (X=x, Y=y)
P (x,y)'nin bileşik olasılık dağılım fonksiyonu olabilmesi için aşağıda verilen üç eşitliği sağlaması gerekir.
a) P (xi, yj) = 0 , (xi, yj) S için
b) P (xi, yj) 0 , (xi, yj) S için
c) P (xi, yj) = 1 , (xi, yj) S için
Örnek: Bir torbada 3 beyaz, 5 siyah top vardır. İadeli olarak arka arkaya iki top çekiliyor. X rassal değişkeni birinci ve Y de ikinci çekiliş sonunda elde edilen topların rengini göstersin.
1 , çekilen top beyaz ise
0 , değilse
1 , çekilen top beyaz ise
0 , değilse
a) Çekilen topların ortak olasılık fonksiyonunu bulunuz.
b) Toplam olasılığın bir olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
a) Çekilişler iadeli olduğu için,
P (x=0, y=0) = 5/8 . 5/8 = 25/64 ; P (x=0, y=1) = 5/8 . 3/8 = 15/64
P (x=1, y=0) = 3/8 . 5/8 = 15/64 ; P (x=1, y=1) = 3/8 . 3/8 = 9/64
Ortak olasılık dağılım fonksiyonu tablosu;
X
Y 0 1
0 25/64 15/64
1 15/64 9/64

b) p(x,y) = P(x=1, y=0) + P(x=1, y=1) + P(x=0, y=0) + P(x=0, y=1)
= 25/64 + 15/64 + 9/64 + 15/64 = 1
Örnek: Bir para üç defa atılıyor. X rassal değişkeni ilk atışta para yazı ise 0 değerini, tura ise 1 değerini alıyor. Y rassal değişkeni ise gelen yazıların değerini gösteriyor. Ortak olasılık dağılım fonksiyonunu yazınız.
Çözüm: Örnek uzayımız
S= { TTT, TTY, TYT, TYY, YYY, YYT, YTY, YTT}
X rassal değişkeni paranın yazı ve tura gelmesini gösterdiğine göre 0,1,2 ve 3 değerlerini alır. X ve Y rassal değişkenlerinin ortak olasılık dağılım fonksiyonu şöyledir;
Y
X 0 1 2 3
0 0 1/8 2/8 1/8
1 1/8 2/8 1/8 0
MARJİNAL OLASILIK FONKSİYONLARI
Değişkenlerin biri sabit tutulup, sadece diğeri üzerinden hesaplanan olasılıklara marjinal olasılık denir.
(X,Y) kesikli tesadüfi değişkenlerin ortak olasılık fonksiyonu f(x,y) ise X ve Y tesadüfi değişkenlerinin marjinal olasılık fonksiyonlarını sırasıyla h(x) , g(y) ile gösterebiliriz. O halde bu fonksiyonları f(x,y) yardımıyla,
h(xi) = Pr { x= xi, ? < Y } = f (xi, yj) , j=1,2,....m)
g(yi) = Pr { y= yi, ? < X } = f (xi, yj) , i=1,2,....m)
bulabiliriz.. Bu fonksiyonlar aşağıdaki özelliklere sahiptir.
X'in marjinal olasılık fonksiyonu h(xi):
i) h(xi) = f (xi, yj)
ii) h(xi) = 1
iii) h(xi) ? 0
dır. Aynı özellikler Y'nin marjinal olasılık fonksiyonu g(yi):
i) g(yi) = f (xi, yj)
ii) g(yi) = 1
iii) g(yi) ? 0 olarak yazılır.
Örnek: X ve Y rassal değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunmuştur.
Y
X 0 1 2 3 f(x)
0 0 1/8 2/8 1/8 4/8
1 1/8 2/8 1/8 0 4/8
f(y) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
X ve Y değişkenlerinin marjinal olasılıklarını bulunuz?
Çözüm:
Y rassal değişkeni 0,1,2 ve 3 değerlerini aldığına göre,
P (y=0) = P (x, y=0) = P (x, y=0)
= P (x=0, y=0) + P ( x=1, y=0)
= P (0,0) + P ( 1,0) = 0 + 1/8 = 1/8
Benzer şekilde;
P (y=1) = P (x, y=1) = P (0,1) + P ( 1,1) = 1/8 + 2/8 = 3/8
P (y=2) = P (x, y=2) = P (0,2) + P ( 1,2) = 2/8 + 1/8 = 3/8
P (y=3) = P (x, y=3) = P (0,3) + P ( 1,3) = 1/8 + 0 = 1/8
Bu durumda P(y) ; y 0 1 2 3 Toplam
P(y) 1/8 3/8 3/8 1/8 8/8
Aynı şekilde işlem yaparak P(x) de şöyle bulunur.
x 0 1 Toplam
P(x) 4/8 4/8 8/8
Örnek: P (x,y) aşağıdaki gibi verilsin,
1/30 (x+y) , x=0,1,2 ve y= 0,1,2,3 için
0 , diğer durumlarda
X ve Y rassal değişkenlerinin marjinal olasılık fonksiyonunu bulunuz.
X rassal değişkeninin marjinal olasılık fonksiyonu,
P(x) = 1/30 (x+y)
= 1/30 [ (x+0) + (x+1) + (x+2) + (x+3)] = 4x+6 / 30
olur. O zaman;
4x+6 , x=0,1,2 için
30

0 , diğer durumlarda
Y'nin marjinal olasılık fonksiyonu;
P(y) = P(x,y) = 1/30 [ (0+y) + (1+y) + (2+y)]
1/30 (3y+3) = y+1
10
y+1 , y = 0,1,2,3
P(y) = 10
0 , diğer durumlarda

Örnek: Bir istatistik enstitüsünde bulunan hesap makinelerinin %40'ı elektrikli ve sağlam, %20'si elektrikli ama bozuk, %10'u elle çalışıyor ve sağlam, %30'u elle çalışıyor ama bozuktur.
a) Ortak olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.
b) Marjinal olasılık fonksiyonlarını bulunuz.
X rassal değişkeni elektrikli ise 1
Elle çalışıyorsa 0 değerini,
Y rassal değişkeni sağlamsa 1
Bozuksa 0 değerini alsın.
a) P(x=0, y=0) = 0,3 P(x=1, y=0) = 0,2
P(x=0, y=1) = 0,1 P(x=1, y=1) = 0,4
Y
X 0 1 Toplam
0 0,3 0,1 0,4
1 0,2 0,4 0,6
Toplam 0,5 0,5 1
b) Satır ve sütun toplamları marjinal olasılık fonksiyonunu verdiğinden;
X = x P(x) = P (X=x) Y=y P(y) = P (Y=y)
0 0,4 0 0,5
1 0,6 1 0,5
1 1
Tanım - Sürekli Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
(X,Y) düzlemin bir D bölgesinde (sayılabilir olmayan bir küme içinde) tüm değerleri alabilen sürekli bir rastgele bir değişken olsun. Aşağıdaki koşulları sağlayan f fonksiyonuna (X,Y)' nin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu (0,0,y,f) denir. Ve şu koşulları sağlamalıdır.
a)
b)
NOT: b koşulu z = f (x,y) denklemleriyle verilen yüzeyin altındaki hacmin 1' e eşit olduğunu belirtir. f (x,y) fonksiyonunun düzlemdeki bütün (x,y) değerleri için tanımlandığı düşünülürse b koşulu

Örnek: İki boyutlu sürekli (x,y) rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
F (x,y) =
Olsun. B = olayının olasılığını bulunuz.
Çözüm. Önce kontrol edelim:

=
B olayının P(B) olasılığını hesaplarken aşağıdaki eşitliği kullanabiliriz:
P(B)=1 - P( )
Burada olayı = ' dir.

Örnek: (X,Y) süreli rastgele değişkeni verilen,

a) f (x,y) fonksiyonunun olasılık fonksiyonu olabilmesi için c sabiti ne olmalıdır?
b) olasılıklarını bulunuz?
a) Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için, olmalıdır.
olmalıdır.

b)

= bulunur.
Örnek:

a) Yukarıda verilen f(x,y) fonksiyonunun ortalık olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için c = ?
b) P olasılığını bulunuz.
Çözüm:




olmalıdır. Buradan da bulunur.




Tanım - Ortak Dağılım Fonksiyonu
(X.Y) iki boyutlu kesikli veya sürekli bir rastgele değişken olsun, ortak olasılık fonksiyonu da f (x,y) olsun. Aşağıdaki gibi tanımlanan F(x,y) fonksiyonuna ortak dağılım fonksiyonu ya da birikimli ortak olasılık fonksiyonu denir.
F (x,y) = P f
Not: (X,Y), f (x,y) olasılık yoğunluk fonksiyonu ve F(x,y) dağılım fonksiyonuna sahip iki boyutlu sürekli rastgele değişken ise F' nin diferansiyellenebilir olduğu yerde

Örnek: (x,y) rastgele değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir.
f
a) f (x,y) fonksiyonunun dağılım fonksiyonunu bulunuz
b) Ortak dağılım fonksiyonundan yararlanarak
olasılığını bulunuz.
Çözüm: F(x,y)


c) P = ?


F(x,y)=
x' in üst sınırını bulabiliriz. x 1' dir. 0 olarak verilmiştir. O halde, isteniyor.
Y' nin sınırları ise kesin bir şekilde verilmiştir. O halde;






Tanım: Marjinal Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu:
İki boyutlu sürekli (x,y) rastgele değişkeninin ortak olasılık fonksiyonu f olsun. X ve Y' nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonları g ve h sırasıyla;
olarak tanımlanır.
Örnek:

fonksiyonları veriliyor.
a) f (x,y) ortak olasılık yoğunluk fonksiyonumudur.
b) X ve Y' nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarını bulunuz
Çözüm:
a) Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için;
olmalıdır.

O halde f (x,y) bir olasılık fonksiyonudur.
b) X' in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu;


Y' nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu;


Not: Örnekten de görüldüğü üzere X' in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunun apsis değeri x olan dikey doğru üzerinde y' ye göre integrali alınarak; Y' nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu da ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun ordinat değeri integral alınarak bulunur.
Örnek: (X,Y) iki boyutlu rastgele değişkenin aşağıda görüldüğü şekilde S bölgesinde üniform dağıldığını varsayalım.

Çözüm:
a) f (x,y) =
o halde


bulunur. Buna göre,
yazılır.
b) X' in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu;

bulunur. Buna göre,

Y' nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu;
bulunur. Buna göre,

c)


olarak bulunur.
Tanım - Marjinal Dağılım Fonksiyonu
f(x,y) , (X,Y) rastgele değişkeninin ortak dağılım fonksiyonu olsun. X' in dağılım fonksiyonu;

Y' nin dağılım fonksiyonu;
G(y)=

Örnek:

X' in ve Y' nin marjinal dağılım fonksiyonunu bulunuz
Çözüm:
X' in marjinal dağılım fonksiyonu;

buna göre,

Y' nin marjinal dağılım fonksiyonu;

buna göre,

Tanım - Kesikli Değişkenler İçin Koşullu Olasılık Fonksiyonu:
h(x) ; X' in marjinal olasılık fonksiyonu,
g(y) ; Y' nin marjinal olasılık fonksiyonu ise
X=x verilmişken Y' nin koşullu olasılık fonksiyonu:

Y=y verilmişken X' in koşullu olasılık fonksiyonu:

h(x) ve g(y) marjinal olasılıklar olduklarından bu fonksiyonları koşullu olasılık fonksiyonları türünden şu şekilde yazabiliriz.

Örnek: (X,Y) iki boyutlu kesikli rastgele değişkenin ortak olasılık fonksiyonu;

a) koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
b) koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
a)
önce g(y)' yi bulalım,


olarak bulunur.

b)
h(x)' i bulalım,
bulunur.

Tanım - Sürekli Değişkenler İçin Koşullu Olasılık Fonksiyonu
h(x) ; X' in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,
g(y) ; Y' nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu ise
X = x vermişken Y' nin koşullu olasılık fonksiyonu;

h(x), g(y) marjinal olasılığı koşullu olasılıklar cinsinden yazalım

Örnek: (x,Y) iki boyutlu rastgele değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu;

a) X' in ve Y' nin koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
b) H(x)' in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
a) Y=y verilmişken X' in koşullu olasılık fonksiyonu


buna göre;

X=x verilmişken Y' nin koşullu olasılık fonksiyonu


buna göre

b)
bulunur.
Tanım - Bağımsız Değişkenler:
a) (X,Y), bir S örnek uzayında iki boyutlu kesikli, rastgele değişken olsun. (xj,yj) i = 1,2,.......,M; j= 1,2,......,N (X.Y)' nin olanaklı sonuçları ise X ve Y rastgele değişkeninin bağımsız olmaları için gerek ve yeter koşul tüm (xj,yj) çiftleri için
P(X=xi, yj) = P (X = xi) P(Y=yj) olmasıdır.
c) (X,Y), iki boyutlu sürekli rastgele değişken olsun. X ve Y' nin bağımsız rastgele değişkenler olabilmeleri için gerek yeter koşul bir S örnek uzayındaki tüm (x,y) değerleri için f(x,y) = g(x) h(y) olmalıdır. Burada f ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu, g ve h sırasıyla X ve Y' nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonlarıdır.
d) Bağımsız olmayan rastgele değişkenlere bağımlıdırlar.
Örnek: (X,Y) rastgele değişkeninin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

şeklinde veriliyor. X ve Y rastgele değişkenleri istatistiksel olarak bağımsız mıdır?
Çözüm: X' in marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu,

Y' nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu ise,

olarak bulunur.
f(x,y(=h(x).g(y)
den,

eşitliği sağlanır ki bu da X ve Y' nin bağımsız olduğunu gösterir.
BİR RASTGELE DEĞİŞKENİNİN BEKLENEN DEĞERİ
Tanım:
X=x x1 x2 xN
f(x) = P (X = x) f(x1) f(x2) f(xN)
X, yukarıdaki olasılık fonksiyonuna sahip kesikli bir rastlantı değişkeni olsun. X değişkenini E(x) ile gösterilen beklenen değeri aşağıdaki gibi tanımlanır:

X rastlantı değişkeni sayılabilir sonsuzluktaki x1, x2 ,.....xn,.... değerini alıyorsa

olur. Bu E(X), X' in mümkün değerlerinin ortalamasıdır. Beklenen değeri veya ortalamayı ile göstereceğiz. X, Y,... gibi birden fazla rastlantı değişkeni ile çalışırken karışıklık olmaması için x= E(X), y = E(Y) yazacağız.
Örnek: Düzgün bir zar atıldığında üste gelen noktaların beklenen değeri nedi?
Çözüm: X zarının geldiği sayıları gösteren rassal değişken olsun. Alabileceği değerler 1,2,3,4,5 ve 6' dır.
X=x 1 2 3 4 5 6 Toplam
P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 6/6
Tanıma göre beklenen değer

Örnek: İçinde 3 beyaz ve 2 siyah top bulunan bir kavanozdan çekileni yerine koyma şartıyla iki top çekilmiştir. Çekilen her beyaz top için 100 lira kazanılacak ve çekilen her siyah top içinde 50 lira kaybedilecektir. Bu oyunda beklenen kar nedir.
Çözüm: X rassal değişkeni kazanılan liranın sayısı olsun. X' in beklenen değerini bulursak problemi çözeriz. Aşağıdaki tablo ile mümkün sonuçların örnek uzayına, karşılık gelen olasılıklar ve kar gösterilmiştir.

Tanım: f(x), X sürekli rastlantı değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu olsun. X' in beklenen değeri E(X) ile gösterilir ve

ile tanımlanır.
Örnek: X rassal değişkeni aşağıdaki gibi olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olsun,

E(X)' i bulunuz
Çözüm: X sürekli bir rassal değişken olduğu için beklenen değeri,

olarak bulunur. O zaman

Örnek: X sürekli rastlantı değişkeni ve

X' in olasılık yoğunluk fonksiyonu olsun. = E(X)' i bulunuz
Çözüm: Tanım gereğince ve x<0 için f(x) = 0 olduğundan,

Bu integrali kısmi integrasyon metodu ile hesaplayacağız.
olur. Buradan
Hospital kuralının uygulanması ile


Beklenene Değerin Özellikleri:
Tanım - 1 (Kesikli Rastgele Değişkeninin Beklenen Değeri)
X kesikli rastgele değişkeni için olasılık fonksiyonu
X = x x1 x2 xn
F (x) = P (X = x) f(x1) f(x2) f(xn)
Olarak verilsin. X,Y' in fonksiyonun olsunç Y = g(X)' in beklenen değeri ya da ortalaması

yada

olarak tanımlanır.
Tanım - 2 (Sürekli Rastgele Değişkenin Beklenen Değeri):
X sürekli rastgele değişkeni için olasılık fonksiyonu
X = x x1 x2 xn
F (x) = P (X = x) f(x1) f(x2) f(xn)
olarak verilsin Y, X' in fonksiyonu olsun. Y=g(X) in beklenen değeri yada ortalaması

olarak tanımlanır.
Örnek: Bir zarın atılması ile ilgili bir deneyde X rastlantı değişkeninin fonksiyonu,
X=x 1 2 3 4 5 6
F(x) P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Olarak veriliyor. Aşağıda verilen her fonksiyon için beklenen değerleri bulunuz
a) E(X2) (ya da g(X) = X2)
b) E(3) (ya da g(X) = 3)
c) E(2X) (ya da g(X) = 2X)
d) E(2X-1) (ya da g(X) = 2X -1)
Çözüm:
a) X2' nin olanaklı değerleri ve karşılık gelen olasılıklar
X=x 1 2 3 4 5 6
F(x) P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
bulunur
Not: Dikkat edilirse yani kareler ortalaması, onların ortalamalarının karesine eşit değildir.
b) 3' ün olanaklı değerleri ve karşılık gelen olasılıklar
X=x 1 2 3 4 5 6
F(x) P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

bulunur.
c) 2X' in olanaklı değerleri ve karşılık gelen olasılıklar
X=x 2 4 6 8 10 12
f(x) P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

bulunur.
d) (2X-1)' in olanaklı değerleri ve karşılık gelen olasılıklar
X=x 1 3 5 7 9 11
f(x) P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

bulunur.
Örnek: X kesikli bir rassal değişken olup fonksiyonu aşağıdaki gibi olsun
X -2 1 2
P(x) 5/8 1/8 2/8
a) X rassal değişkeninin beklenen değeri E(X)' yi bulunuz
b) Y=X2 + 4 olarak tanımlandığına göre E(Y)' yi bulunuz
Çözüm:
a) Beklenen değerin tanımına göre hareket edilirse

olarak bulunur.
b) Y = U(x2+4) olarak tanımlandığına göre

olarak bulunur.
Örnek: X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir.

a) Y = U (x) = ex ise, E(Y)' yi bulunuz
b) Y = U(x) = 4x + 1 ise, E(Y)' yi bulunuz.
Çözüm:
a)
Kısmi integral yöntemine göre bu integral çözülürse
x = u dv = exdx
dx = du v = ex
olur. O zaman
formülüne göre.

olarak bulunur.
b)

olur.
Teorem: a ve b sabitler ve X rastgele değişkeni ise
E(aX+b)=a.E(X)+b
şeklindedir.
İspat: g(X) = aX+b alalım. Kesikli rastlantı değişken tanımından


Şeklindedir. Sağ yandaki ilk toplam ve ikinci toplam ' dir. Bu nedenle E(aX+b) = aE(X)+b
Bulunur.
" Bu teoremin özel hallerinden şu sonuçları çıkarabiliriz.
Sonuç-1: a = 0 ==> E(b) = b' dir.
Sonuç-2: a = 1 ==> E(X+b) = E(X) + b' dir.
Yani, bir rastgele değişkenin bir sabitle toplamının ortalaması, rastgele değişkenin ortalaması ile aynı sabitin toplamına eşittir.
Sonu-3: b = 0 ==> E(aX) = a.E(X)' tir.
Yani bir rastgele değişkeninin sabitle çarpımının ortalama değeri, sabit değerle rastgele değişkenin ortalamasının çarpımına eşittir.
Sonu-4: a = 1, b = -E(X) = - ==> E[X-E(X)]=E(X- )= 0' dır.
Yani, X rastgele değişkenin kendi ortalamasından sapmasının ortalaması sıfırdır.
ORTAK OLASILIK FONKSİYONLARININ BEKLENEN DEĞERİ
Şimdiye kadar tek değişkenli rassal değişkenlerin beklenene değeri ile onların özellikleri incelenmiştir. Bu bölümde iki ve ikiden çok rassal değişkenin beklenen değeri incelenecektir.
Tanım - Beklenen Değer: X ve Y rassal değişkenleri sırasıyla ile f(x) f(y) olasılık fonksiyonları da (f x,y) olsun. O zaman E(X) şöyle bulunur.

Bu eşitlikler, X ve Y' nin marjinal dağılımları biliniyorsa aşağıda olduğu gibi de tanımlanabilir.

Benzer şekilde sürekli değişkenler için de bu işlemler yapılabilir. Y rassal değişkeninin beklenen değeri de aynı şekilde bulunabilir.


Tanım-Ortak Olasılık Fonksiyonlarının Beklenen Değeri
X ve Y iki rassal değişken ve bunların olasılık fonksiyonu da f(x,y) olsun. U(x,y) bu rassal değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu ise U(x,y) nin beklenen değeri

ORTAK OLASILIK FONKSİYONLARININ BEKLENEN DEĞER İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ
Teorem:
X ve Y iki rassal değişken ve bunların ortak olasılık fonksiyonları da f(x,y) olsun. O zaman;
İspat:
X ve Y sürekli rassal değişkenler ise,

Benzer şekilde, bu eşitliğin kesikli rassal değişkenler içinde doğru olduğu gösterebilir.
Teorem: X ve Y iki rassal değişken ve bunların ortak olasılık fonksiyonu da f(x,y) olsun a ve b sabit sayılar olmak üzere,
E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)
olur. Eğer genelleştirecek olursak

şeklinde yazılabilir.
İspat:

tanım gereğince
E(aX + bY) = aE(x) + bE(Y) olur
Teorem: X ve Y bağımsız iki rassal değişken olsun. Bunların ortak olasılık fonksiyonu f(x,y) olarak verildiğine göre
E(XY) = E(X) E(Y) eşitliği sağlanır.
İspat: X ve Y bağımsız ve sürekli rassal değişkenler ise f(x,y) = f(x) f(y) olur.

KOŞULLU BEKLENEN DEĞER
Koşullu olasılık fonksiyonları, değişkenlerden biri bilindiğinde, diğer değişkenin olasılık fonksiyonunun nasıl bilinebileceği konusunda değişik avantajlar sağlıyordu. Koşullu dağılımların beklenen değerine, koşullu beklenen değer denir.
Tanım-Koşullu Beklenen Değer:
f(x) > 0 ve f(x,y) tanımlı olmak üzere X ve Y rassal değişkenler olsun. O zaman, Y verildiğinde X' in koşullu beklenen değeri aşağıdaki gibi tanımlanır

Benzer şekilde X = x verildiğinde Y' nin koşullu beklenen değeri de tanımlanabilir.
Teorem:
X ve Y rassal değişkenleri f/x)>0ve f(y)>0 olmak üzere bağımsız rassal değişkenler olup, ortak olasılık fonksiyonları f(x,y) olsun. O zaman,
E(Y/x)=E(Y) ve E(X/y)=E(X) olur.
İspat:
X ve Y bağımsız değişkenler olduklarından

yazılır. Buradan
E(X/Y=y) bulunur.
Tanım-Bir Fonksiyonun Koşullu Beklenen Değeri:
X ve Y rassal değişkenler olup K=U(x) tanımlansın. X rassal değişkeninin olasılı fonksiyonu f(x) > 0 olmak üzere Y=y verildiği zaman, K = U(x)' in koşullu beklenen değeri şöyle hesaplanır.

Örnek: Düzgün bir paranın 3 atılışta gelen tura toplam sayısı X, ilk iki atıştaki turaların sayısı Y rastgele değişkeni olsun. S örnek uzayı X, Y' ye karşılık gelen değerleri tablo üzerinde gösterelim
S' nin öğesi X' in Öğesi Y' nin Öğesi
TTT 3 2
TTY 2 2
TYT 2 1
YTT 2 1
TYY 1 1
YTY 1 1
YYT 1 0
YYY 0 0
Çözüm: X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyon tablosu
X = x \ Y = y 0 1 2 P(X = x)
0 1/8 0 0 1/8
1 1/8 1/4 0 3/8
2 0 1/4 1/8 3/8
3 0 0 1/8 1/8
P(Y = y) 1/4 1/2 1/4 1
Şeklindedir.
a)
b)
c)


c) E(X.Y)=2, E(X) = , E(Y) = 1 olarak bulundu. Böylece E(XY) ? E(X) E(Y)' dir. O halde X ve Y değişkenleri bağımsız değillerdir.
Örnek: X ve Y sürekli rastgele değişkenler olup, f (x.y) ortak olasılık fonksiyonuna sahip olsunlar.
2x (x+y-2xy) , 0 ? x ? 1; 0 ? y ? 1 için

0 , diğer durumlarda

a) f(x) ve f(y)'yi bulunuz.
b) f(x|y) koşullu olasılık fonksiyonunu bulunuz.
c) E(x) ve E(Y)'yi bulunuz.
d) E(5x-1) ve E(2Y+2) değerlerini bulunuz.
e) E(XY) yi bulunuz.
f) X ve Y rastgele değişkenleri bağımsız mıdır?
Çözüm:
a) olduğuna göre

bu durumda

benzer şekilde

b) olduğundan,

c)
bulunur. Aynı şekilde, olur.
d) olur.
ve olarak elde edilir.
e) eşitliğinden giderek

f) olduğundan

bu problem doğrudan çözüldükten sonra bulunan sonuca Y=1 değeri konularak da bulunabilirdi.

Y = 1 değeri konulursa E(X / Y = 1= bulunur.
g) X ve Y rastgele değişkenlerinin bağımsız olup olmadıklarını aşağıdaki üç yaklaşımdan birisi ele alınarak çözümlenebilir.
i. E(XY) = E(X).E(Y)
ii. f(x,y) = f(x).f(y)
iii. E(X / Y) = E(X)
Bu eşitlikten herhangi biri sağlanırsa, X ve Y rastgele değişkenleri bağımsızdır denir.
Örneğin;
E/XY) ? olduğundan X ve Y rastgele değişkenleri bağımlı değişkenlerdir.
Örnek: X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık fonksiyonu,

olarak veriliyor.
a) E(X) ve E(Y)' yi
b) E(XY)' yi
c) E(X / Y)' yi
d) E(X / Y = 2)' yi
Çözüm:
a)
olduğundan öncelikle X rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu
bulunmalıdır.

bu durumda
değeri elde edilir.
Benzer yaklaşımla, değeri de bulunabilir.
b) olduğundan

c)
olduğundan, önce f(y) ve daha sonra da f(x/y) koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu bulunmalıdır.


e) E(X / Y = 2) değeri bir önceki koşullu beklenen değerde Y = 2 değeri konularak bulunur.
E(X / y = 2) =
RASTGELE DEĞİŞKEN KAVRAMI
Rastgele Değişken :
Belirli bir tanım aralığında hangi değeri alacağı önceden bilinmeyen ve bu değeri belli olasılıklarla alabilen değişkendir.Şu durumda rastgele değişkenin aldığı her değer için belirli olasılıklar vardır.
X rastgele değişken ve X1,X2,X3.....Xn rastgele değişkenin alabileceği değerler olsun; X rastgele değişkenin herhangi bir x değerini alma olasılığı,Pr {x=X} şeklinde gösterilir. Bu X'in dağılım ya da olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır.
Rastgele değişkenler alacakları değerler bakımından sürekli ya da kesikli rastgele değişkenler olarak adlandırılırlar.
Kesikli Rastgele Değişkenler :
Eğer X rastgele değişkeni sonlu veya sayılabilir sonsuzlukta değerler alabiliyorsa buna kesikli rastgele değişkenler denir.
Şöyle gösterilir : P (X =x) = 1

ÖRN : Bir paranın 2 kez atılması deneyini düşünelim.Bunun için rastlantı değişkeni bulunuz.
ÇÖZÜM :Bu deneyin örneklem uzayı :
S : şeklindedir.
X raslantı değişkeni bulunan turaların sayısını göstermek üzere; X (YY) =0 , X (YT) =1 , X (TY) =1 , X (TT) =2
olur.Böylece X rastlantı değişkeninin alabileceği değerler 0,1,2'dir.O halde X sonlu değerler aldığından kesikli rastgele değişkendir.

X'in alabileceği değerler x'le gösterilmek üzere; X'in x değerlerini alma olasılığı f (x) ile gösterilir.
X=x 0 1 2
f (x) = P(X =x) ¼ ½ ¼

f (x) = P(X =x)'dir
f (0) = P(0) =1/4
f(1) = P(1) =1/2
f(2) = P(2) =1/4

şeklindedir.X'in alabileceği değerler için;
f(0) + f(1) +f(2) =1'dir.

Sürekli Rastgele Değişkenler :

Eğer X rastgele değişkeni sonsuz değerler alıyorsa artık kesikli değil sürekli rastgele değişken var demektir.
Örneğin;X =1,2,3 değerlerini alıyor olsun.Bunu şeklinde de yazabiliriz. Burada X'in aldığı sayılar sayılabilirdir. Eğer X, sürekli değişken olsaydı o zaman aralığında sonsuz değerler alacaktı.
Sürekli bir rastgele değişkeninin her aralığında sonsuz sayıda değer vardır.Değişkenin bunlar içerisinden her hangi birisini değer olarak alma olasılığı = 0'dır. Bu yüzden,sürekli bir değişkenlere ait olasılık fonksiyonu, bu değişkenin belirli bir değeri alma olasılıklarının hesaplanmasına imkan vermez.
OLASILIK FONKSİYONU
Bir değişkenin alabileceği değerlerle bu değerleri alma olasılıkları
arasındaki bağlantıyı gösteren fonksiyona denir.
f(X i) = 0 Pr = Pi biçiminde gösterilir.
f(X i) 'in olasılık fonksiyonu olması için şu koşulları sağlanmalıdır.
i) f(Xi) =0 i Rx için
ii) 0 f(Xi) 1 i Rx için
iii) f(Xi) =1 i Rx için
Bu koşulları sağlayan f(x) fonksiyonuna X rastgele değişkeninin olasılık fonksiyonu veya kesikli olasılık fonksiyonu denir.
Tablo olarak şu şekilde gösterilir.
X = xi x1,x2............xn
f(xi) f(x1),f(x2).............f(xn)

ÖRN :
Bir balıkçının günde tuttuğu balık miktarını gösteren X değişkeninin olasılık fonksiyonu şöyle olsun;
1/100 x, x =1,2,........,10 için f(x) = 1/100 (20-x), x=11,12,......20 için
0, diğer değerler için

Bu balıkçının ; a) Tam 8 balık tutması
b) 8'den az balık tutması
c) 8'den fazla balık tutması
d) 6-18 arası balık tutması olasılıklarını bulunuz.

ÇÖZÜM:
a) Pr = 1/100 x 8 = 0,08
b) Pr = 1/100x = 0.28
c) Pr = 100



Pr +Pr +Pr = 1 olduğu görülür.Buda olasılık fonksiyonu olma koşulunu sağlar.
d) Pr =

ÖRNEK: X rastlantı değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi olsun:
X=x 0 1 2 3 4 5 6 7
F(x) 0 C 2c 2c 3c C2 2C2 7C2+c
a) c değişkenini hesaplayınız.
b) ' nın minimum değeri
Çözüm: olasılık fonksiyonu olma koşulundan;
i) olması gerekir

ii) c değeri yerine yazılırsa
X=x 0 1 2 3 4 5 6 7
F(x) 0 1/10 2/10 2/20 3/10 1/100 2/100 17/100
Buradan;



olduğundan
bulunur.
SÜREKLİ OLASILIK FONKSİYONU
Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuma sürekli olasılık fonksiyonu veya yoğunluk fonksiyonu denir.
Sürekli rastgele bir değişkenin a ve b gibi sabit 2 sayı arasında kalan aralıkta bir değer alma olasılığı, bu değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonunun bu aralıktaki integralinin alınması ile bulunur.
f(x)







F(x) fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlar.
i) f(x) ' in integrali alınabilir ve
ii)
iii) da
ÖRNEK: f(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi verilsin.

a) f(x) fonksiyonu olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
b) F(x)' in grafiği
ÇÖZÜM:
a) değerleri için f(x) = 0 olduğu açıktır.
ii) için
iii) olmalı

f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
b)




ÖRN:
f(x) fonksiyonu aşağıdaki biçimde tanımlansın.

a) f(x) olasılık fonksiyonu mudur?
b) f(x)'in grafiği
ÇÖZÜM:
a) Olasılık yoğunluk fonksiyonu olması için şu koşullar sağlanmalıdır.
i) f(x) = 0'dır. x i Ri için R
ii) f(x) 'dır. x i R için
iii) olduğundan bir olasılık fonksiyonudur.
b) f(x)' in grafiği



DAĞILIM FONKSİYONU
X rastgele değişken olsun.X'in verilen bir değere eşit ya da daha küçük olması olasılığını veren fonksiyona dağılım fonksiyonu denir ve F(x) ile gösterilir.
F(x) = Pr
0 F(x) aralığı olmalıdır.
ÖRNEK: Düzgün 6 yüzlü bir zar bir kere atılıyor.Üste gelen yüzdeki noktaların sayısının olasılık fonksiyonunu bulunuz.

X=x 1 2 3 4 5 6
F(x)





Dağılım Fonksiyonu:
X=x 1 2 3 4 5 6
F(x)






X' in değer aldığı aralığı için;

' dır.
Örneküzgün 2 zarın atılması deneyinde X değişkeni elde edilen sayıların toplamı olmak üzere toplamın en az 4 en çok 8 olma olasılığı nedir?
X=x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
f(x)










F(x)











Buna göre
' dir.
Korax isimli Üye şimdilik offline konumundadır   Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Bookmarks


Konuyu Toplam 1 Üye okuyor. (0 Kayıtlı üye ve 1 Misafir)
 
Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
Sizin Yeni Konu Acma Yetkiniz var yok
Sizin Konu Yanıtlama Yetkiniz var
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
Smileler Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı

Gitmek istediğiniz klasörü seçiniz


Şu Anki Saat: 03:00


İçerik sağlayıcı paylaşım sitelerinden biri olan Bilqi.com Forum Adresimizde T.C.K 20.ci Madde ve 5651 Sayılı Kanun'un 4.cü maddesinin (2).ci fıkrasına göre TÜM ÜYELERİMİZ yaptıkları paylaşımlardan sorumludur. bilqi.com hakkında yapılacak tüm hukuksal Şikayetler doganinternet@hotmail.com ve streetken27@gmail.com dan iletişime geçilmesi halinde ilgili kanunlar ve yönetmelikler çerçevesinde en geç 1 (Bir) Hafta içerisinde bilqi.com yönetimi olarak tarafımızdan gereken işlemler yapılacak ve size dönüş yapacaktır.
Powered by vBulletin® Version 3.8.4
Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd.
Search Engine Optimisation provided by DragonByte SEO v2.0.36 (Lite) - vBulletin Mods & Addons Copyright © 2017 DragonByte Technologies Ltd.

Android Rom

Android Oyunlar

Android samsung htc

Samsung Htc

Nokia Windows